Kezdőlap


Feladat:	445. fizika feladat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Darvas Gy. , Herendi István , Herényi I. , Koren Cs. , Pelikán József , Sain B. , Sváb Erzsébet , Vicsek Tamás
Füzet:	1964/december, 233 - 234. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Emelő, Erők forgatónyomatéka, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1964/április: 445. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Bár a szövegezésből nem derül ki, feltételezzük, hogy az emelő vízszintes és vízszintes tengely körül forog.
I. megoldás. Jelöljük az emelő hosszát $l$ -lel, az emelő erőt $P$ -vel. Az emelő súlya $γ l$ , amely a súlypontban támad, forgatónyomatéka a tengelyre tehát $- γ l^{2} / 2$ . (Azért negatív, mert az óramutatóval egyező irányban forgat.) A lefelé ható erő forgatónyomatéka ugyanezért $- M$ , az emelő erőé $P l$ . E forgató-nyomatékok összege 0.

\begin{matrix} P l - M - \frac{γ l^{2}}{2} = 0 innen P = γ \frac{l}{2} + \frac{M}{l} . \end{matrix}

Ezt a kifejezést kell minimálissá tenni

l

alkalmas megválasztásával. Átalakítva:

\begin{matrix} P = \sqrt[]{\frac{γ M}{2}} \cdot (\frac{l \sqrt[]{γ}}{\sqrt[]{2 M}} + \frac{\sqrt[]{2 M}}{l \sqrt[]{γ}}) . \end{matrix}

A zárójelben most egy

x + 1 / x

típusú kifejezés áll. Pozitív

x

-re

x + 1 / x \geq 2

, és az egyenlőség jele akkor és csak akkor érvényes, ha

x = 1

. Az optimális

l

-re tehát:

\begin{matrix} \frac{l \sqrt[]{γ}}{\sqrt[]{2 M}} = 1, és így l = \sqrt[]{\frac{2 M}{γ}} . A minimális erő pedig: \\ P = \sqrt[]{\frac{γ M}{2}} \cdot 2 = \sqrt[]{2 γ M} = 100 kp . \end{matrix}

Herendi István (Szombathely, Latinka S. gépip. techn. II. o. t.)
dolgozata alapján

II. megoldás. Rögzített

P

esetén

l

-re másodfokú egyenletet kapunk. (Lásd az előző megoldást.) Ezt

l

-re megoldva:

\begin{matrix} l = \frac{P \pm \sqrt[]{P^{2} - 2 γ M}}{γ} . \end{matrix}

P

túl kicsi, a diszkrimináns negatív. A minimális

P

-t tehát akkor kapjuk, ha a diszkrimináns 0. Így

\begin{matrix} P = \sqrt[]{2 γ M;} l = \frac{P}{γ} = \sqrt[]{\frac{2 M}{γ}} . \end{matrix}

Sváb Erzsébet (Bp., Radnóti M. gyak. g. II. o. t.)

Megjegyzés: A minimumfeladat még többféleképpen megoldható: grafikus úton, geometriai megfontolásokkal, számtani-mértani közép egyenlőtlenséggel, teljes négyzetté kiegészítéssel stb. Eltekintve a grafikus megoldástól, ezek egymástól lényegesen nem különböznek.