Kezdőlap


Feladat:	439. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Lakatos Aladár , Patkós A.
Füzet:	1964/november, 176 - 177. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenesvonalú mozgás lejtőn, Teljesítmény, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1964/március: 439. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A $P \cdot v = N$ összefüggésből indulunk ki, ahol a $P$ a mozdony vonóerejét, $v$ a sebességet jelenti. Ez az egyenlőség a mozgás során minden pillanatban fennáll, így pl. ha $v$ időbeli változását ismerjük, ennek segítségével $P$ változása azonnal megállapítható. Az $m$ tömegű mozdony $a$ gyorsulása pedig:

\begin{matrix} a = \frac{P - m g sin α}{m} = \frac{\frac{N}{v} - m g sin α}{m} . \end{matrix}

Ennek az összefüggésnek a segítségével már végigkövethetjük a mozgást. Kezdetben

v = 0

, így

P

igen nagy, a mozdony nagy gyorsulással indul. (Természetesen

P

végtelen értékének nem tulajdonítottunk realitást. Itt arról van szó, hogy a mozdony teljesítménye az induláskor

0

-ról nagyon gyorsan, elhanyagolhatóan rövid idő alatt növekszik az

N

értékre, és a továbbiakban konstans marad.) Ahogy a gyorsulás következtében a mozdony sebessége nő, úgy csökken a fenti képlet szerint a gyorsulása. Tehát a sebesség a kezdeti rohamos növekedés után egyre lassabban nő. Ez a növekedés a

v_{m} = N / m g sin α

értékig tarthat, ekkor ugyanis a gyorsulás nullává válik, így a sebesség nem változna ezután. Bebizonyítható, hogy ezt az értéket a mozdony csak ,,végtelen hosszú idő múlva'' érné el, aszimptotikusan közelíti meg. Azonban a

v_{m}

sebességet nyilván nevezhetjük a mozdony végsebességének, hiszen elég hosszú idő alatt a mozdony ezt a sebességet tetszőlegesen megközelíti. Az erő-sebesség grafikon, a

P \cdot v = N

összefüggésnek megfelelően, hiperbola alakú, amely

v_{m}

-nél véget ér, ahol az erő nyilván a minimális értéket éri el (a megbeszélt értelemben végtelen idő múlva):

P_{min} = m g sin α

, ami nyilván kell a lejtőn való visszacsúszás megakadályozására.

Lakatos Aladár (Bp.; Apáczai Csere J. gyak. g. III. o. t.) dolgozata alapján

Megjegyzés: a sebesség-idő függvény menetét nem véletlenül nem kíséreltük meg kiszámítani, mert nemcsak hogy ez a középiskolás matematikai ismeretek segítségével nem lehetséges, hanem nem is fejezhető ki az elemi függvényekkel. (Az idő kifejezhető a sebességgel, ezt Simonovits András meg is tette, azonban ebből az összefüggésből a sebességre transzcendens egyenlet adódik.) Hogy mégis több megoldónak ,,sikerült'' a sebesség-idő függvényt felírni, ez az általuk elkövetett, majdnem minden esetben igen elemi hibák következménye, amelyekre itt külön szeretnénk utalni. Mégpedig nyomatékosan ajánljuk megoldóink figyelmébe, hogy a jól ismert

v = a \cdot t

s = 0, 5 \cdot a t^{2}

és még néhány ezekből szármáztatható kinematikai összefüggés csak a mozgás olyan szakaszára érvényes, amelyben a gyorsulás állandó, és a kezdősebesség (lassulás esetén a végsebesség) nulla.