Kezdőlap


Feladat:	435. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Pelikán József , Szeidl László
Füzet:	1964/november, 174. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hooke-törvény, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1964/március: 435. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladatot általánosan oldjuk meg. Legyen adva egy $l$ hosszúságú, $q_{1} + q_{2} + ... + q_{n}$ keresztmetszetű drót, amelynek $q_{1}, q_{2}, ... q_{n}$ keresztmetszetű részei rendre $ε_{1}, ε_{2}, ..., ε_{n}$ nyúlási együtthatójú anyagból készültek. Keressük, hogy mekkora megnyúlást hoz létre egy $P$ nagyságú erő.
A $P$ erőt felbontjuk a $P_{1}, P_{2}, ..., P_{n}$ erőkre úgy, hogy a $P_{i}$ az az erő, amely az $i$ -edik rész megnyúlását okozza. Ekkor

\begin{matrix} P_{1} + P_{2} + ... + P_{n} = P, \end{matrix}

és az

i

-edik rész megnyúlása:

\begin{matrix} λ_{i} = ε_{i} P_{i} l / q_{i} . \end{matrix}

Mivel a drót egyes részei hosszirányban nem csúszhatnak el egymás mellett, ezért mindegyik

λ_{i}

megnyúlás egyenlő.

\begin{matrix} ε_{1} \cdot P_{1} l / q_{1} = ε_{2} P_{2} l / q_{2} = ... = ε_{n} P_{n} l / q_{n}, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} ε_{1} / q_{1} \cdot P_{1} = ε_{2} / q_{2} \cdot P_{2} = ... = ε_{n} / q_{n} \cdot P_{n} . \end{matrix}

P_{k}

meghatározásához tekintsük az

\begin{matrix} ε_{i} / q_{i} \cdot P_{i} = ε_{k} / q_{k} \cdot P_{k} \end{matrix}

egyenlőséget, amelyből

\begin{matrix} P_{i} = ε_{k} / q_{k} \cdot q_{i} / ε_{i} \cdot P_{k} . \end{matrix}

Ezt az első egyenletbe helyettesítve

\begin{matrix} P_{1} + P_{2} + ... + P_{n} = P_{k} ε_{k} / q_{k} (q_{1} / ε_{1} + q_{2} / ε_{2} + ... + q_{n} / ε_{n}) = P, így \\ P_{k} = \frac{P}{\frac{ε_{k}}{q_{k}} [\frac{q_{1}}{ε_{1}} + \frac{q_{2}}{ε_{2}} + ... + \frac{q_{n}}{ε_{n}}]} . \end{matrix}

Tehát

\begin{matrix} λ = λ_{k} = ε_{k} \cdot P_{k} \cdot l / q_{k} = \frac{P \cdot l}{\frac{q_{1}}{ε_{1}} + \frac{q_{2}}{ε_{2}} + ... + \frac{q_{n}}{ε_{n}}} . \end{matrix}

A számadatokat beírva (

n = 2

q_{1} = q_{2} = 10 {mm}^{2}

ε_{1} = 50 \cdot 10^{- 6} {mm}^{2} / kp

ε_{2} = 75 \cdot 10^{- 6} {mm}^{2} / kp

P = 50 kp

l = 2 m

\begin{matrix} P_{1} = 30 kp, P_{2} = 20 kp, λ = 0, 3 mm. \end{matrix}

Pelikán József (Bp., Fazekas M. g. II. o. t.)

Megjegyzés: több különböző anyagból álló huzal ‐ ahol az egyes huzalrészek egyenlő keresztmetszetűek ‐ helyettesíthető egy olyan huzallal, amelynek hossza és keresztmetszete megegyezik az eredetivel, és a nyúlási rugalmassági együtthatója az egyes anyagrészekre vonatkozó nyúlási együtthatók harmonikus átlaga. A harmonikus átlag definíciója:

1 / x_{átl} = [1 / x_{1} + 1 / x_{2} + ... + 1 / x_{n}] 1 / n

Szeidl László (Bp., Apáczai Csere gy. g. II. o. t.)