Feladat:	432. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bense Imre
Füzet:	1964/november, 171 - 172. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Egyéb váltóáramú áramkörök, Egyéb áramköri rezonancia, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1964/február: 432. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.     Vegyünk fel $r$ ellenálláson $i_r=i_{r0}\text{sin}\omega t$ váltóáramot. Ekkor ennek végein a feszültségkülönbség $U_{CB}=r_{i_{r0}}\text{sin}\omega t$. Ennek hatására a kondenzátoron átfolyó áramerősség: $i_C=\frac{r{i}_{r0}}{R_C}\text{sin}\left(\omega t+{90}^{\circ }\right)$. Az áramok összege: $i_r+i_C=i_{r0}\text{sin}\omega t\frac{r_{r0}^i}{R_C}\cdot \text{sin}\left(\omega t+{90}^{\circ }\right)=i_{r0}\sqrt[]{1+{\left(r/R_C\right)}^2}\cdot \text{sin}\left(\omega t+\phi \right)\mathrm{,}$ ahol $\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">tg</span>}\phi =r/R_C$, $\text{sin}\phi =\frac{r/R_C}{\sqrt[]{1+{\left(r/R_C\right)}^2}}$, $\text{cos}\phi =\frac{1}{\sqrt[]{1+{\left(r/R_C\right)}^2}}$, $i_r+i_C=i_L$ egyszersmind a tekercs árama.     A tekercs végein levő feszültségkülönbség: $\begin{array}{c}{\displaystyle U_{BA}=R_L\cdot i_{r0}\sqrt[]{1+{\left(\frac{r}{R_C}\right)}^2}\cdot \text{sin}\left(\omega t+\phi +{90}^{\circ }\right)\mathrm{.}}\end{array}$ A teljes (hálózati) feszültségkülönbség pedig ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle U_{CA}=U_{CB}+U_{BA}=r{i}_{r0}\text{sin}\omega t+R_L{i}_{r0}\sqrt[]{1+{\left(r/R_C\right)}^2}\cdot \text{sin}\left(\omega t+\phi +{90}^{\circ }\right)=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle =i_{r0}\sqrt[]{r^2+R_L^2+r^2{\left(\frac{R_L}{R_C}\right)}^2-2r{R}_L\sqrt[]{1+{\left(r/R_C\right)}^2}\cdot \text{sin}\phi }\cdot \text{sin}\left(\omega t+\gamma \right)=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle =i_{r0}\sqrt[]{r^2+R_L^2+r^2{\left(\frac{R_L}{R_C}\right)}^2-2r^2\frac{R_L}{R_C}}\cdot \text{sin}\left(\omega t+\gamma \right)=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle =i_{r0}\cdot \sqrt[]{R_L^2+r^2{\left(1-\frac{R_L}{R_C}\right)}^2}\cdot \text{sin}\left(\omega t+\gamma \right)\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Ez akkor független $r$-től, ha $1-\frac{R_L}{R_C}=0$, innen $\begin{array}{c}{\displaystyle R_L=R_C\mathrm{,}\omega L=1/\omega C\mathrm{,}\omega =1/\sqrt[]{LC}\mathrm{.}}\end{array}$ A megoldást a rezonanciaeset adja. A fázis általában $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">tg</span>}\gamma =\frac{R_L\sqrt[]{1+{\left(r/R_C\right)}^2}\cdot \text{cos}\phi }{r-R_L\sqrt[]{1+{\left(r/R_C\right)}^2}\cdot \text{sin}\phi }=\frac{R_L}{r\left(1-R_L/R_C\right)}\mathrm{.}}\end{array}$ Ha megvalósítjuk a rezonanciaesetet, $\gamma ={90}^{\circ }$, $\begin{array}{c}{\displaystyle U=i_{r0}\cdot R_L\cdot \text{sin}\left(\omega t+{90}^{\circ }\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Az izzólámpák amplitúdó és fázis tekintetében azt az áramot kapják, amely akkor folyna át a tekercsen, ha az egyedül volna rákapcsolva a váltófeszültségre.    Bense Imre (Esztergom, Temesvári P. g. IV. o. t.)