Kezdőlap


Feladat:	429. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bodonhelyi Márta , Ferenczi György , Kiss Ádám , Pelikán József , Treer F.
Füzet:	1964/november, 169. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hajítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1964/február: 429. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vegyünk fel a test pályájának síkjában az ábra szerint egy $x$ , $y$ koordináta-rendszert. Keressük a test pályájának egyenletét. A test mozgása két mozgás eredője: a vízszintessel $α$ szöget bezáró, $v_{0}$ sebességű egyenletes mozgásé és a szabadesésé. Vízszintes elmozdulás csak az egyenletes mozgás hatására jön létre

\begin{matrix} x = v_{0} t cos α . \end{matrix}

A függőleges elmozdulás

\begin{matrix} y = v_{0} t sin α - g t^{2} / 2. \end{matrix}

A két egyenletből

t

-t kiküszöbölve kapjuk a pálya egyenletét:

\begin{matrix} y = x \cdot tg α - g \cdot x^{2} / (2 v_{0}^{2} \cdot cos^{2} α) . \end{matrix}

Az a feltétel, hogy a test az

x_{0}

távolságban levő

y_{0}

magasságú falon átrepüljön, úgy is megfogalmazható, hogy a pálya

x_{0}

abszcisszájú pontjának ordinátája nagyobb vagy egyenlő legyen, mint

y_{0}

tehát:

\begin{matrix} x_{0} \cdot tg α - g \cdot x_{0}^{2} / (2 v_{0}^{2} \cdot cos^{2} α) \geq y_{0} . \end{matrix}

Ebből a minimális kezdősebesség, amely kielégíti a feltételt:

\begin{matrix} v_{0, min} = \sqrt[]{x_{0}^{2} \cdot g / [2 cos^{2} α (x_{0} tg α - y_{0})] .} \end{matrix}

A megadott számértékek mellett

v_{0, min} = 12, 64

m/sec. Az emelkedés ideje a

v_{0} \cdot sin α - g t = 0

egyenletből

\begin{matrix} t = v_{0} \cdot sin α / g . \end{matrix}

Ebből a pályamaximum abszcisszája

\begin{matrix} x_{m} = v_{0} cos α \cdot t = v_{0}^{2} \cdot sin 2 α / 2 g, \end{matrix}

és ordinátája

\begin{matrix} y_{m} = v_{0}^{2} \cdot sin^{2} α / 2 g . \end{matrix}

A számértékeket behelyettesítve

x_{m} = 7, 055

y_{m} = 2, 036

m. Amikor a test leesik,

y = 0

. Ezt a pálya egyenletébe írva

x [tg α - g x / (2 v_{0}^{2} cos^{2} α)] = 0

, innen a becsapódás helye

\begin{matrix} x_{max} = v_{0}^{2} \cdot sin 2 α / g = 14, 11 m. \end{matrix}

Megjegyzés: Az általános feladatnak nyilván csak akkor van megoldása, ha

y_{0} / x_{0} < tg α

Pelikán József (Budapest, Fazekas M. Gimn., II. o. t.)