Kezdőlap


Feladat:	423. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Magyar Gábor , Takács László , Toldi Zoltán
Füzet:	1964/október, 89. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Newton-féle gravitációs erő, Mesterséges holdak, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1964/január: 423. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A példában szereplő távolságok miatt a Nap sugarait párhuzamosaknak, a Föld árnyékkúpját hengernek tekinthetjük, amelynek tengelye a Nap és a Föld középpontját összekötő egyenes, sugara pedig $R = 6300 km$ .
Az űrhajó pályájának középpontja mindig egybeesik a Föld középpontjával, sugara jelen esetben $r = 9000 km$ . Keringési idejét a centripetális erő és a gravitációs vonzóerő egyenlőségét kifejező $m r ω^{2} = f \frac{m M}{r^{2}}$ egyenletből határozhatjuk meg, ahol $ω = 2 π / T$ . Az egyenletet megoldva nyerjük

\begin{matrix} T = 2 π \sqrt[]{\frac{r^{3}}{f M}} = 8594 sec = 2 h 31 {min}_{}^{} 14 sec . \end{matrix}

Az űrhajóban éjszaka van, ha az pályájának az árnyékhengeren belüli, nappal, ha azon kívüli részén halad.
Abból, hogy az űrhajó pályájának van egy a Nap és a Föld középpontját összekötő egyenesre eső pontja, következik, hogy az árnyékhenger tengelye benne van a pályasíkban. Ekkor a pálya árnyékban haladó ívéhez tartozó középponti szöget a

sin α / 2 = R / r = 0, 7

egyenletből kapjuk:

α = 88^{\circ} 52'

. Ebből az éjszaka, ill. a nappal hossza:

\begin{matrix} T_{é} = T \frac{88^{\circ} 52'}{360^{\circ}} = 2123 sec = 35 {min}_{}^{} 23 sec, \\ T_{n} = 6471 sec = 1 h 47 {min}_{}^{} 51 sec . \end{matrix}

Magyar Gábor (Sopron, Berzsenyi D. Gimn. IV. o. t.)

Megjegyzés: Toldi Zoltán és Takács László figyelembe vette azt is, hogy az árnyéktér valójában nem henger, hanem kúp. Így az éjszaka hosszát kb. 1 perccel rövidebbnek találták.