Kezdőlap


Feladat:	414. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Merkel Géza
Füzet:	1964/szeptember, 38 - 39. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Gördülés vízszintes felületen, Feladat, Súrlódás
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1963/december: 414. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Induljunk ki a versenyfeladatokat tárgyaló cikk (K.M.L. 1963. évi 7. szám) 87. oldalán a 9. ábrához tartozó adatokból: $P = 3000$ din, $M = 400$ gramm, $μ = 0, 002$ , $m = 100$ gramm, $I = 160 {g cm}^{2}$ , $β = 2, 5 {sec}^{- 2}$ , $a = 2 {cm sec}^{- 2}$ , $A = 7 {cm sec}^{- 2}$ , $β r = 5 {cm sec}^{- 2} = A - a$ . Ekkor simán gördül a golyó a hasábon és a $μ m g = 200$ din súrlódási erő egyenlő azzal az erővel, amely a golyót gyorsítja; ugyanekkor a hasábot 2800 din gyorsítja.
Most képzeljük el, hogy a golyó tömegét még növeljük sűrűségének nagyobbítása által, például a kétszeresére. Ez azzal járhatna, hogy a teljes ekkor rendelkezésre álló $μ m g = 400$ din súrlódási erőt átadjuk a golyónak. Tekintve a golyó megkétszereződött tömegét, ettől sem a gyorsulása, sem $β$ szöggyorsulása, sem $β r$ nem változna. De a hasábra csak $3000 - 400 = 2600$ din maradna, amely erő a hasábot csak $6, 5 {cm sec}^{- 2}$ gyorsulással volna képes mozgatni. A golyó $A - a$ viszonylagos gyorsulása $6, 5 - 2 = 4, 5 {cm sec}^{- 2}$ lenne, ami kisebb, mint a golyó kerületi pontjainak $β r = 5 {cm sec}^{- 2}$ gyorsulása. Ez lehetetlen, a súrlódási erő nem képes a golyót előreküldeni. Látható, hogy $m = 200$ grammnál már nem kerül sor a maximálisan lehetséges $μ m g$ súrlódási erő igénybevételére.
Az az $m_{k}$ tömeg, amely mellett már sima legördülés van, és amelynél még igénybe vesszük a lehető legnagyobb súrlódási erőt, arról nevezetes, hogy ekkor a golyót előrevivő erő $m a = μ m g$ , tehát a hasáb gyorsulása $A = (P - μ m g) : M$ , tehát a viszonylagos gyorsulás

\begin{matrix} A - a = \frac{P - μ m g}{M} - μ g; \end{matrix}

ugyanekkor a forgómozgás alaptörvénye szerint

β - μ m g r / I

, a kerületi pontok gyorsulása,

β r = μ g r^{2} / I

. Ha sima legördülés van, akkor

A - a = β r

, tehát

\begin{matrix} \frac{P - μ m g}{M} - μ g = \frac{μ m g r^{2}}{I} . \end{matrix}

Innen a kritikus tömeg:

\begin{matrix} m_{k} = \frac{P - μ M g}{μ g (1 + M r^{2} / I)} . \end{matrix}

A mi adatainkkal (

g = 1000 {cm sec}^{2}

) valóban

m_{k} = 100

gramm.
Ha a golyó tömege nagyobb, mint

m_{k}

, akkor felírjuk a sima legördülés feltételét a golyó kerületén ható

m a

erővel:

\begin{matrix} A - a = \frac{a m r^{2}}{I}, \end{matrix}

továbbá azt a feltételt, hogy az összes erő megoszlik a golyó és a hasáb között:

\begin{matrix} P = M A + m a . \end{matrix}

Ennek az egyenletrendszernek a megoldása:

\begin{matrix} a = \frac{P}{m + M + m M r^{2} / I}, A = \frac{P (1 + m r^{2} / I)}{m + M + m r M^{2} / I}, \end{matrix}

továbbá a legördülés feltételéből a szöggyorsulás:

\begin{matrix} β = \frac{P m r^{2} / I}{r (m + M + m M r^{2} / I)} . \end{matrix}

Ezek az összefüggések érvényesek az

m k

kritikus tömeg fölött, grafikus ábrázolásuk az ábrán látható hiperbolaíveket adja.

Ha a golyó tömege kisebb az

m_{k}

kritikus tömegnél, akkor a teljes

μ m g

súrlódási erő dolgozik mint a golyót gyorsító erő:

m a = μ m g

, tehát a golyó gyorsulása a tömegtől függetlenül

a = μ g

. Emiatt a szöggyorsulás állandó értéke is

β = μ m g r / I

. (I-ben szintén szerepel

m

tömeg és a számlálóban levő

m

-mel kiegyszerűsödik.) A hasáb számára megmaradó erő

P - μ m g

, így a hasáb gyorsulása:

\begin{matrix} A = \frac{P - μ m g}{M}, \end{matrix}

vagyis

m

-mel lineárisan csökken. Lineárisan csökken

A - a

viszonylagos gyorsulás és

β r

kerületi gyorsulás különbsége, a csúszás mértéke is.

m - 0

esetében

A = P / M

, de

α

és

β

határozatlanok.

Merkel Géza (Budapest, Hengersor u. g. IV. o. t.)