Feladat:	411. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Magyar Gábor ,  Simonovits András
Füzet:	1964/május, 235 - 238. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Pontrendszerek mozgásegyenletei, Feladat, Súrlódás
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1963/december: 411. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.     Legyen először minden súrlódási együttható nulla. A gyorsulások és a kötélerő ekkor csak a testek tömegétől és a gravitációs gyorsulástól függenek. A négy ismeretlen meghatározásra írjuk fel a mozgásegyenleteket. Ez három egyenletet szolgáltat (három testből áll a rendszer). A negyedik egyenletet a köztük fellépő geometriai kényszer fogja megadni: a súlytalan, abszolút hajlékony, de nyújthatatlan fonál a testek által megtett utak, illetőleg a gyorsulások között szab meg egy kapcsolatot.     A három mozgásegyenlet (l. az ábrát) ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle }& {\displaystyle M_1{a}_1=P\mathrm{,}}\hfill & \text{(1)}\\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle M_2{a}_2=P\mathrm{,}}\hfill & \text{(2)}\\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle M_3{a}_3=M_{3}g-P\mathrm{.}}\hfill & \text{(3)}\end{array}}$ A megtett utak: $\begin{array}{c}{\displaystyle s_1=\frac{a_1}{2}{t}^2\mathrm{,}{s}_2=\frac{a_2}{2}{t}^2\mathrm{,}{s}_3=\frac{a_3}{2}{t}^2\mathrm{.}}\end{array}$ $s_1$ és $s_2$ megadják a vízszintes kötélrész rövidülését, $s_3$ pedig a függőleges szakasz növekedését. Mivel a kötél hossza mozgás közben nem változik, ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle }& {\displaystyle s_1+s_2=s_3\mathrm{,}\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">ahonnan</span>}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle a_1+a_2=a_3\mathrm{.}}\hfill & \text{(<mn>4</mn>)}\end{array}}$ (4)-et (1), (2) és (3) alapján $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{P}{M_1}+\frac{P}{M_2}=\frac{M_{3}g-P}{M_3}}\end{array}$ alakba írva adódik $P$ értéke: $\begin{array}{c}{\displaystyle P=\frac{M_1{M}_2{M}_3}{M_1{M}_2+M_1{M}_3+M_2{M}_3}\cdot g\mathrm{.}}\end{array}$ Ezt visszahelyettesítve megkapjuk a keresett gyorsulásokat: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle a_1=\frac{M_2{M}_3}{M_1{M}_2+M_1{M}_3+M_2{M}_3}\cdot g\mathrm{,}{a}_2=\frac{M_1{M}_3}{M_1{M}_2+M_1{M}_3+M_2{M}_3}\cdot g\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle a_3=\left(1-\frac{M_1{M}_2}{M_1{M}_2+M_1{M}_3+M_2{M}_3}\right)\cdot g\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Az $M_1$ és $M_2$ tömegű testek egymáshoz viszonyított gyorsulása $a_1+a_2$. Az indulástól számított $s$ út megtételéhez szükséges $t$ időt könnyen megkaphatjuk: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle t=\sqrt[]{\frac{2s}{a_1+a_2}}=\sqrt[]{\frac{2s\left(M_1{M}_2+M_1{M}_3+M_2{M}_3\right)}{g\cdot \left(M_2{M}_3+M_1{M}_3\right)}}=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle =\sqrt[]{\frac{2s}{g}\cdot \frac{M_1{M}_2+M_1{M}_3+M_2{M}_3}{M_3\left(M_2+M_1\right)}}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Ha a lelógó kötélrész rövid, akkor a csiga mozgása következtében ez a kötélrész nem marad függőleges. Ekkor az $M_3$ tömegű test mozgása bonyolult görbe pályán történik, ahol a fellépő gyorsulások a hajlásszögtől és a sebességtől is függnek (centripetális erő görbevonalú mozgásnál !). Ezért a fenti meggondolások és eredmények csak hosszú kötél esetén érvényesek. A feladat súrlódásos általánosítása azonos elvek alapján történhet, csak az az eset érdekes, ha az összes súrlódó erőt figyelembe vesszük. Legyen az $M_1$ és $M_2$ tömegű testek közti súrlódási együttható ${\mu }_1$, az $M_2$ tömegű test és az asztallap közti súrlódás együtthatója ${\mu }_2$. Ekkor a három test mozgásegyenlete: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle }& {\displaystyle M_1{a}_1=P-{\mu }_1{M}_{1}g\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle M_2{a}_2=P-{\mu }_1{M}_{1}g-{\mu }_2\left[\left(M_1+M_2\right)g+P\right]\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle M_3{a}_3=M_{3}g-P\mathrm{,}}\hfill \end{array}}$ ahol figyelembe kellett venni az $M_2$ tömegű testre a felső lapján fellépő $M_1$-től származó súrlódó erőt, az asztallap és $M_2$ között fellépő súrlódó erőt, amelyet az $M_2$ tömeg, $M_1$ tömeg és az $M_3$ tömegtől származó $P=M_3\left(g-a\right)$ erők határoznak meg. Végül a negyedik egyenlet továbbra is érvényes: $\begin{array}{c}{\displaystyle a_1+a_2=a_3\mathrm{.}}\end{array}$ Az egyenletek megoldása: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{P-{\mu }_1{M}_{1}g}{M_1}+\frac{P-{\mu }_1{M}_{1}g-{\mu }_2\left[\left(M_1+M_2\right)g+P\right]}{M_2}=\frac{M_{3}g-P}{M_3}\mathrm{,}}\end{array}$ ahonnan ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle P=\frac{M_1{M}_2{M}_3}{M_1{M}_2+M_2{M}_3+M_1{M}_3\left(1-{\mu }_2\right)}\left[1+\frac{\left({\mu }_1+{\mu }_2\right)\left(M_1+M_2\right)}{M_2}\right]\cdot g\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle a_1=\left\{\frac{M_2{M}_3}{M_1{M}_2+M_2{M}_3+M_1{M}_3\left(1-{\mu }_2\right)}\left[1+\frac{\left({\mu }_1+{\mu }_2\right)\left(M_1+M_2\right)}{M_2}\right]-{\mu }_1\right\}\cdot g\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle a_2=\{\frac{M_1{M}_3}{M_1{M}_2+M_2{M}_3+M_1{M}_3\left(1-{\mu }_2\right)}\left[1+\frac{\left({\mu }_1+{\mu }_2\right)\left(M_1+M_2\right)}{M_2}\right]\left(1-{\mu }_2\right)-}\hfill \\ \hfill {\displaystyle -\left[{\mu }_2+\frac{M_1}{M_2}\left({\mu }_1+{\mu }_2\right)\right]\}\cdot g\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle a_3=\left\{1-\frac{M_1{M}_2}{M_1{M}_2+M_2{M}_3+M_1{M}_3\left(1-{\mu }_2\right)}\left[1+\frac{\left({\mu }_1+{\mu }_2\right)\left(M_1+M_2\right)}{M_2}\right]\right\}\cdot g\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Az indulástól számítva az $M_1$ tömegű testnek az $M_2$-n mért $s$ út megtételéhez szükséges ideje: $\begin{array}{c}{\displaystyle t=\sqrt[]{\frac{2s}{g\left\{XY\cdot \left[M_2+M_1\left(1-{\mu }_2\right)\right]-\left({\mu }_1+{\mu }_2\right)\left(1+M_1/M_2\right)\right\}}}\mathrm{,}}\end{array}$ ahol $\begin{array}{c}{\displaystyle X=\frac{M_3}{M_1{M}_2+M_2{M}_3+M_1{M}_3\left(1-{\mu }_2\right)}\mathrm{,}Y=1+\frac{\left({\mu }_1+{\mu }_2\right)\left(M_1+M_2\right)}{M_2}}\end{array}$ Eddig minden további nélkül feltettük, hogy a testek mozognak. Ez nem magától értetődő, hiszen ha az adott tömegek esetén a súrlódási együttható nagy, akkor nem jön létre mozgás. Egyszerűség kedvéért legyen ${\mu }_1={\mu }_2$. Mivel $\begin{array}{c}{\displaystyle P_{s1}={\mu }_1{M}_{1}g\mathrm{,}\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">és</span>}{P}_{s2}={\mu }_2\left[\left(M_1+M_2\right)g+P\right]}\end{array}$ ezért $P_{s1}<P_{s2}$, és mozgás esetén $M_{3}g>P$ kell, hogy teljesüljön. (Gyorsulás esetén az egyenlőség érvényes.) Ha $M_{3}g=P$, akkor $M_3$ és $M_1$ is egyenletesen mozog (miután meglöktük), $M_2$ pedig nyugalomban van. Ekkor $M_{3}g=P=P_{s1}$. Ha $M_{3}g>P$, akkor $M_1$ is és $M_3$ is gyorsulva mozog, ebből következik, hogy $P>P_{s1}$. De igaz az is, hogy ha $M_{3}g>P_{s1}$, akkor $M_{3}g>P>P_{s1}$. Ahhoz, hogy $M_3$ és $M_1$ gyorsulva mozogjon, elég az, hogy $M_{3}g>P_{s1}$ legyen, amiből a súrlódási együtthatóra ${\mu }_1<\frac{M_3}{M_1}$ kikötés adódik. Hogy $M_2$ is mozogjon, kell, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle P_{s1}+P_{s2}<P\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">igaz legyen</span>}\mathrm{.}}\end{array}$ Egyenletes mozgáshoz ${\mu }_1{M}_{1}g+{\mu }_2\left[\left(M_1+M_2\right)g+P\right]=P$ szükséges, ebből ${\mu }_1={\mu }_2=\mu$ esetben $\begin{array}{c}{\displaystyle \mu =\frac{P}{2M_{1}g+M_{2}g+P}\mathrm{.}}\end{array}$ Ahhoz, hogy $M_2$ gyorsuljon, kell, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \mu <\frac{P}{2M_{1}g+M_{2}g+P}\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">teljesüljön</span>}\mathrm{.}}\end{array}$ Magyar Gábor (Sopron, Berzsenyi D. g. IV. o. t.)   Megjegyzés: A feladat megoldható energiatétellel, ill. munkatétellel. Érvényes továbbá a vízszintes irányokra vonatkoztatva a mozgásmennyiség megmaradás tétele súrlódásmentes esetben (a függőleges sebességek vízszintes vetülete nulla). Figyeljük meg ellenőrzésként, hogy a súrlódásos megoldás ${\mu }_1={\mu }_2=0$ helyettesítéssel az első kérdésre adott válaszokat adja.   Holics László