Kezdőlap


Feladat:	404. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bense Imre , Pelikán József , Vadász István
Füzet:	1964/május, 230 - 232. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenesvonalú mozgás lejtőn, Csúszó súrlódás, Rugalmas energia, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1963/november: 404. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$a)$ A hatásfok a hasznos munka és a befektetett munka hányadosa, a mi esetünkben az emelési munka
$L_{em} = m g \cdot sin α \cdot s$ és a teljes $P$ erő $L_{ö} = P \cdot s$ munkájának viszonya: $η = m g \cdot sin α / P$ .
A végsebességet az egyenletesen gyorsuló, $0$ kezdősebességű mozgás sebesség-út összefüggéséből számítjuk. A mozgásegyenlet szerint $a = \frac{\sum_{i} P_{i}}{m}$ , ahol $\sum P_{i} = P - m g sin α - μ m g cos α$ , és így a keresett végsebesség:

\begin{matrix} v = \sqrt[]{\frac{2 h}{sin α} \cdot \frac{P - m g (sin α + μ cos α)}{m}} . \end{matrix}

b)

s'

úton nyert sebesség a hátralevő

s - s'

úton zérusra csökken, vagyis a sebességnövekedés és sebességcsökkenés egymással egyenlők. Írhatjuk, hogy:

Δ v_{1} = Δ v_{2}

, azaz

\begin{matrix} \sqrt[]{2 (\frac{P}{m} - g sin α - μ g cos α) s'} = \sqrt[]{- 2 (- g sin α - μ g cos α) (s - s')} . \end{matrix}

Négyzetre emelés után:

\begin{matrix} (\frac{P}{m} - g sin α - μ g cos α)) s' = - (- g sin α - μ g cos α) (s - s'), \end{matrix}

ahonnan a keresett

\begin{matrix} s' = \frac{m}{P} (g sin α + μ g cos α) s = \frac{m g h (1 + μ ctgα)}{P} \end{matrix}

A hatásfok

\begin{matrix} η' = \frac{m g h}{m g h (1 + μ ctgα)} = \frac{1}{1 + μ ctgα} . \end{matrix}

c)

A harmadik eset visszavezethető a másodikra

s' = s / 2

kikötéssel, így

\begin{matrix} \frac{m}{P_{1 / 2}} (g sin α + μ g cos α) = \frac{1}{2} -ből \end{matrix}

\begin{matrix} P_{1 / 2} = 2 mg (sin α + μ cos α), \end{matrix}

és ebből a hatásfok:

\begin{matrix} η_{1 / 2} = \frac{m g s \cdot sin α}{2 m g (sin α + μ cos α) s / 2} = \frac{1}{1 + μ ctgα} = η', \end{matrix}

vagyis azonos az előző esetével. Érdemes megemlíteni, hogy a hatásfok a két esetben független mind a tömegtől, mind a

P

erőtől !

d)

Tegyük fel, hogy a

P

erő végig

h / sin α

úton hat. (A kapott általános összefüggés alapján könnyű a többi esetet megvizsgálni, pl. hogy csak

s - Δ s

úton hat az erő, és azt, hogy a súrlódási együttható végig, vagy csak a

Δ s

szakasztól kezdve nulla, vagy végig nem nulla.) A rugóban felhalmozott energia a benne fellépő kezdeti és végső rugalmassági erő számtani közepével kifejezett munkával mérhető, azaz

E_{r} = \frac{P' Δ s}{2}

, ahol

P'

erő a

P

erő gyorsításra maradó részéből, és abból az erőből tevődik össze, amely a testet

Δ s

szakaszon

v

sebességről éppen

0

sebességre csökkenti. Ennek értéke csak a rugó direkciós erejének ismeretében volna kiszámítható, mivel azonban a változó erő hatására létrejövő gyorsulás értéke szintén változó, így változó tehetetlenségi ellenállás

(- m a)

jön létre. Ennek kiszámítását elkerülhetjük az energiatétel figyelembevételével.
Mivel

P

végig hat, a teljes

s

úton végzett munkája

P \cdot s

. Ez az út végig emelésre, súrlódásra és rugóösszenyomásra fordítódik. (A gyorsításra fordított munkát visszakapjuk a lassulásnál, ami segít a rugó összenyomásában). Így, ha a végig ható

P

erő összes munkájából az első kettőt levonjuk, a rugóban felhalmozott energiát kapjuk, azaz:

\begin{matrix} E_{r} = P \cdot s - m g s \cdot sin α - μ m g s \cdot cos α . \end{matrix}

Ez független a

Δ s

összenyomástól.

Δ s

-et tetszőlegesen megköthetjük, de ekkor a rugó direkciós erejét is megszabjuk. Azáltal, hogy megköveteljük, a test éppen álljon meg a rugó hatására az

s

út végén, fenn kell állnia, hogy

P'

-vel, a rugóban fellépő maximális deformációs erővel számolt munka megegyezzék az előbb számolt energiával, így

\begin{matrix} \frac{P' Δ s}{2} = P s - μ m g s cos α - m g s sin α . \end{matrix}

Ebből a maximális rugóerő

P' = \frac{2 s}{Δ s} [P - m g (sin α + μ cos α)]

. Ez általában nagyobb, mint

P - m g sin α + μ m g cos α

(a súrlódó erő itt jelet vált), így a test természetesen nem marad egyensúlyban, hanem a rugó visszadobja. Meg lehet választani a feltételeket úgy, hogy a test fenn nyugalomban maradjon.
Az általunk választott rugó direkciós ereje

\begin{matrix} D = - \frac{P'}{Δ s}, vagyis D = - \frac{2 s}{{(Δ s)}^{2}} [P - m g (sin α + μ cos α)] . \end{matrix}

A hatásfok értéke, ha a rugóban felhalmozott energiát hasznos energiának vesszük:

\begin{matrix} η = \frac{P \cdot s - μ m g s cos α}{P s} . \end{matrix}

Ha csak az emelési munka számít hasznosnak:

\begin{matrix} η = \frac{m g h}{P \cdot s} . \end{matrix}

Vizsgáljuk meg a minimális és maximális erők lehetőségét (a

b)

) esetben).
A folyamat elején a test a lejtő alján áll. Amíg a

P

erő nagysága

0

-tól

P^{*} = m g (sin α + cos α)

-ig terjed, a testre ható erők egyensúlyban vannak, a test még nem indul meg. Ha azonban ekkor megnövelnénk egy

Δ P

erőhatással a

P^{*}

erőt (

Δ P

értéke tetszőlegesen kicsi lehet, de

Δ P \neq 0

), a test

h

magasságba jut, ha a

P = P^{*} + Δ P

erő elég hosszú ideig hat.

P = P^{*} + Δ P

tetszőlegesen megközelítheti az

m g (sin α + cos α)

értéket (

Δ P

mind kisebbre választásával), de nem érheti el: tehát van bármely még elindító erőnél kisebb ilyen tulajdonságú erő, azaz legkisebb erő nincs.
Az erő maximumáról sem beszélhetünk. A

b)

feladat alapján

s'

képletéből:

P s' = m g h (1 + μ ctg α) = konstans

.

Ha

Δ s = s'

minden határon túl csökken zérus felé, a

P

húzóerő minden határon túl növekszik végtelen felé. Ezek szerint tehát az erő maximumáról sem beszélhetünk.

Bense Imre (Esztergom, Temesvári P. g. IV. o. t.)
Vadász István (Bp., Radnóti M. gyak. g. III. o. t.)
és Pelikán József (Bp., Fazekas M. gyak. g. II. o. t.)
dolgozata alapján