Kezdőlap


Feladat:	401. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Takács Gábor
Füzet:	1964/május, 227 - 228. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Erők forgatónyomatéka, Arkhimédész törvénye, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1963/november: 401. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel a pálca egyensúlyban van, kell, hogy a rá ható forgatónyomatékok eredője ‐ pl. a tengelyre vonatkoztatva $- 0$ legyen. A pálcára három erő hat: a súlyerő, a felhajtóerő és a tengelynél egy kényszererő. Az utóbbit nem ismerjük, de ha a forgónyomatékok egyensúlyát a tengelyre írjuk fel, ez úgysem jön számításba. A súlyerő a pálca súlypontjában, a felhajtóerő pedig a vízbe merülő rész középpontjában hat.

Legyen a pálca hossza

l

, keresztmetszete

q

, fajsúlya

γ

, a víz fajsúlya

γ_{0}

és a vízbe merülő rész hossza

x

! Jelöljük a tengelyen túlnyúló rész hosszát

a

-val, a tengely vízszint feletti magasságát

h

-val !
Ezekkel a jelölésekkel a súlyerő forgónyomatéka:

\begin{matrix} l q γ (\frac{l}{2} - a) cos φ, \end{matrix}

a felhajtóerőé pedig

\begin{matrix} - s q γ_{0} (l - a - \frac{x}{2}) cos φ . \end{matrix}

E forgónyomatékok összege

0

l (\frac{l}{2} - a) γ - x (l - a - \frac{x}{2}) γ_{0} = 0

, vagy

0

-ra redukálva, és bevezetve a

γ' = \frac{γ_{0}}{γ}

relatív fajsúlyt:

\begin{matrix} \frac{x^{2}}{2} - (l - a) x + l (\frac{l}{2} - a) γ' = 0, ahonnan \\ x = l - a \pm \sqrt[]{{(l - a)}^{2} - l (l - 2 a) γ'} . \end{matrix}

Adatainkat behelyettesítve

x

-re

102, 6 cm

-t, ill.

17, 4 cm

-t kapunk. Az elsőnek nyilván nincs fizikai értelme, tehát

x = 17, 4 cm

.
A megoldás során egyszerűsítettünk

cos φ

-vel, meg kell tehát vizsgálni a

φ = 90^{\circ}

esetet. Világos, hogy ilyenkor mindig fennáll az egyensúly, vagyis ez is megoldás. Ilyenkor

x = l - a - h

.
Az első megoldásban nem szerepel

h

, vagyis függetlenül a tengely magasságától, mindig ugyanakkora darab fog vízbe merülni, egészen addig, amíg csak

h < l - a - x

. Ezután már csak a második megoldás ad jó eredményt.
Általában a feladatnak fizikai értelme csak akkor van, ha

0 < γ' < 1 {p/cm}^{3}

, és

a < l / 2

. Ilyen feltételek mellett a megoldás

D

diszkriminánsáról azonnal látjuk, hogy

D < {(l - a)}^{2}

. A diszkrimináns azonban így is írható:

D = a^{2} + l (1 - 2 a) (1 - γ')

, és erről az alakról nyilvánvaló, hogy

D > a^{2}

. Az általános megoldásnak tehát mindig a ''

-

'' előjelhez tartozó gyöke a helyes, a másik sohasem.

Takács Gábor (Budapest, Piarista Gimn., III. o. t.)