Kezdőlap


Feladat:	391. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Doskar Balázs , Mayer János , Mészáros G.
Füzet:	1964/április, 184 - 185. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Coulomb-törvény, Arkhimédész törvénye, Tömegpont egyensúlya, Feladat, Permittivitás (dielektromos állandó), Dielektrikumra ható erő, forgatónyomaték
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1963/október: 391. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Írjuk fel általánosságban, hogy adott $l$ hosszúságú inga esetén mennyi lesz a kitérés.
Legyen a golyók fajsúlya $γ$ , térfogata $V$ , töltése $Q$ , a közeg fajsúlya $γ'$ , dielektromos állandója $ε$ . Számoljunk MKSA rendszerben! (A petróleum fajsúlya: $γ_{2} = 8 \cdot 10^{3} \frac{N}{m^{3}}$ ; relatív dielektromos állandója $ε_{2_{r}} = 2$ .)
Egy golyóra összesen három erő hat:
súlyerő: $P_{1} = V γ$ ,
felhajtóerő: $P_{2} = V γ'$ ,
Coulomb‐erő:

\begin{matrix} P_{3} = \frac{1}{4 π ε} \cdot \frac{Q^{2}}{r^{2}} = \frac{1}{4 π ε} \cdot \frac{Q^{2}}{l^{2} sin^{2} \frac{α}{2}} . \end{matrix}

Az inga olyan

\frac{α}{2}

szöggel tér ki, hogy ezen erők eredője fonál irányú. Ekkor:

\begin{matrix} tg \frac{α}{2} = \frac{P_{3}}{P_{1} - P_{2}} = \frac{\frac{1}{4 π ε} \cdot \frac{Q^{2}}{l^{2} sin^{2} \frac{α}{2}}}{V (γ - γ')} . \end{matrix}

A feladat megoldását ezen képlet kétszeri alkalmazásával nyerjük.
Az

ε_{1}

dielektromos állandójú és

γ_{1}

fajsúlyú közegben (jelen esetben levegőben):

\begin{matrix} tg \frac{α_{1}}{2} = \frac{Q^{2}}{4 π ε_{1} \cdot l^{2} \cdot sin^{2} \frac{α_{1}}{2} V (γ - γ_{1})} = \frac{Q^{2}}{4 π ε_{0} ε_{1_{r}} \cdot l^{2} sin^{2} \frac{α_{1}}{2} V (γ - γ_{1})} . \end{matrix}

A második közegben pedig (jelen esetben petróleumban)

\begin{matrix} tg \frac{α_{2}}{2} = \frac{Q^{2}}{4 π ε_{2} l^{2} sin^{2} \frac{α_{2}}{2} V (γ - γ_{2})} = \frac{Q^{2}}{4 π ε_{0} ε_{2_{r}} l^{2} sin^{2} \frac{α_{2}}{2} V (γ - γ_{2})} . \end{matrix}

A két egyenletet elosztva egymással:

\begin{matrix} \frac{tg \frac{α_{1}}{2}}{tg \frac{α_{2}}{2}} = \frac{(γ - γ_{2}) ε_{2_{r}} sin^{2} \frac{α_{2}}{2}}{(γ - γ_{1}) ε_{1_{r}} sin^{2} \frac{α_{1}}{2}} . \end{matrix}

Ebből

γ

-t kifejezve

\begin{matrix} γ = \frac{γ_{1} ε_{1_{r}} \frac{α_{1}}{2} sin^{2} \frac{α_{1}}{2} - γ_{2} ε_{2_{r}} tg \frac{α_{2}}{2} sin^{2} \frac{α_{2}}{2}}{ε_{1_{r}} tg \frac{α_{1}}{2} sin^{2} \frac{α_{1}}{2} - ε_{2_{r}} tg \frac{α_{2}}{2} sin^{2} \frac{α_{2}}{2}} . \end{matrix}

Behelyettesítve a konkrét értékeket:

\begin{matrix} ε_{1_{r}} = 1, γ_{1} = 12, 93 \frac{N}{m^{3}}, α_{1} = 60^{\circ}; \\ ε_{2_{r}} = 2, γ_{2} = 8 \cdot 10^{3} \frac{N}{m^{3}}, α_{2} = 54^{\circ} . Így \\ γ = 2, 56 \cdot 10^{4} \frac{N}{m^{3}} (= 2, 56 {p/cm}^{3}) . \end{matrix}

Mayer János (Mosonmagyaróvár, Kossuth L. Gimn., IV. o. t.)