Kezdőlap


Feladat:	390. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Harkányi Edit , Kiss P. , Simonovits András , Weinhold Ilona
Füzet:	1964/április, 183 - 184. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Erők forgatónyomatéka, Összetartó erők eredője, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1963/október: 390. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A létrának tekintsük pl. a jobb oldali szárát, amely nyugalomban van. Ehhez szükséges, hogy a ráható erők forgatónyomatékainak eredője bármely pontra vonatkoztatva 0 legyen. Milyen erők hatnak erre a létraszárra? A létra lábai görgőkre támaszkodnak, így a talaj csak függőleges irányú erővel hathat a létrára, mégpedig a két létraszárra ható erő az ember súlyával tart egyensúlyt. Ezért a szimmetria a talaj miatt mindkét szárra $30 kp$ -os felfelé irányuló erőt gyakorol. Ezen kívül a $P$ kötélerő és valamely ismeretlen erő hat a létraszárra az $A$ csuklóban. Válasszuk a forgónyomatékok vonatkoztatási pontjának az $A$ pontot. Ekkor az ismeretlen csuklóerő nyomatéka 0, így feltételként adódik (l. az ábrát):

\begin{matrix} 30 kp \cdot 5 m - P \cdot k = 0, ebből P = \frac{150 mkp}{k} . \end{matrix}

Feladatunk tehát a

k

kar meghatározása. Ezt sokféleképpen végezhetjük el, pl. a következőképpen:
Az ábra alapján

\begin{matrix} sin \frac{α}{2} = \frac{5 m}{13 m}, \end{matrix}

ezért

α = 45, 2^{\circ}

. Így a koszinusztétellel:

\begin{matrix} l = \sqrt[]{{(10 m)}^{2} + {(5 m)}^{2} - 2 \cdot (10 m) (5 m) cos 45, 2^{\circ}} = 7, 38 m . \end{matrix}

A szinusztétel szerint

\begin{matrix} sin β = \frac{5 m}{7, 38 m} sin 45, 2^{\circ}, így \\ k = 10 m \cdot sin β = \frac{(10 m) (5 m) \cdot sin 45, 2^{\circ}}{7, 38 m} = 4, 82 m . \end{matrix}

Végül

\begin{matrix} P = \frac{150 mkp}{4, 82 m} = 31, 2 kp . \end{matrix}

Weinhold Ilona (Mosonmagyaróvár, Kossuth g. III. o. t.)

II. megoldás. Tekintsük a kötél egyenese és a létra végére ható 30 kp-os erő hatásvonalának

B

metszéspontját. Erre a pontra vonatkoztatva a forgatónyomatékokat,

P

és a 30 kp-os erő nyomatéka zérus lévén, kell hogy a csuklóerő nyomatéka is 0 legyen, ami azt jelenti, hogy ezen erő iránya az

A B

egyenesbe esik. Mivel a létraszár egyensúlyozásához az szükséges, hogy a rá ható erők eredője 0 legyen, ezért kell, hogy a fenti 30 kp-os erővektor vektorháromszöget alkosson. Ennek minden szöge ismert, mert

P

párhuzamos a kötéllel. A csuklóerő,

P_{cs}

pedig a fenti

A B

egyenessel. Így az ismert oldal (30 kp) segítségével a

P

oldal trigonometrikus úton vagy szerkesztéssel meghatározható.

Harkányi Edit (Bp., Patrona Hung. g. III. o. t.)

Megjegyzés. A kötél két végén azonos feszítőerőnek kell fellépnie (Newton III törvénye). Az első megoldásból ez közvetlenül látszik: a másik szárra is a talaj

5 \cdot 30 kpm

nyomatékot gyakorol.