Kezdőlap


Feladat:	378. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bor Pál , Lakatos A. , Mészáros Endre , Weinhold Ilona
Füzet:	1964/március, 139 - 140. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenesvonalú mozgás lejtőn, Nyomóerő, kötélerő, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1963/szeptember: 378. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Vizsgáljuk a jelenséget a mérleghez viszonyítva álló koordinátarendszerben! Az $m$ tömegű testre hat a súlya, valamint az ék kényszerereje, amely az ékre merőleges: $F$ . Az ékre hat a súlya, a kényszererő reakcióereje $(- F)$ , végül a mérleg kényszerereje $(P)$ . Az erők vízszintes komponense egyenlő az általuk okozott gyorsulás vízszintes komponensének és a gyorsított test tömegének a szorzatával:

\begin{matrix} m a_{x} & = F_{x}, & (1) \\ m a_{y} & = - m g + F_{y}, & (2) \\ M A & = - F_{x}, & (3) \\ 0 & = - M g - F_{y} + P, & (4) \end{matrix}

ahol

a

a test,

A

az ék gyorsulása, és

A

-ról tudjuk, hogy vízszintes.

Tudjuk továbbá, hogy

F

merőleges az ékre:

\begin{matrix} F_{x} = - F_{y} tgα. \end{matrix}

(5)

Még egy egyenletünk hiányzik, épp a kényszerfeltételeket nem használtuk még ki. Legyen a lejtő hossza

l

, így ‐ ha a test

t

idő alatt jut a lejtő aljára, akkor a függőleges utat

a_{y}

gyorsulással teszi meg, de az elmozdulás

\begin{matrix} - l sin α, ezért - l sin α = 1 / 2 a_{y} t^{2} . \end{matrix}

(6)

Másrészt a vízszintes elmozdulás két részből tevődik össze: az ék és a test elmozdulásából. Ez a fentihez hasonlóan:

\begin{matrix} - l cos α = 1 / 2 (a_{x} - A) t^{2}, \end{matrix}

(7)

(6) és (7) hányadosából:

\begin{matrix} a_{y} = (a_{x} - A) tgα. \end{matrix}

(8)

Az (1) ‐ (5) és (8) hatismeretlenes egyenletrendszert alkotnak. Ezt

P

-re megoldva:

\begin{matrix} P = M g \frac{M + m}{M + m sin^{2} α} . \end{matrix}

Az egyensúlyozó

x

tömegre tehát

\begin{matrix} x = M \frac{M + m}{M + m sin^{2} α} . \end{matrix}

Bor Pál (Szeged, Ságvári E. gimn. III. o. t.) és
Weinhold Ilona (Mosonmagyaróvár, Kossuth L. gimn. III. o. t.)
dolgozata alapján

II. megoldás. Vizsgáljuk meg a jelenséget az ékhez rögzített koordináta-rendszerben. Ez a koorinátarendszer gyorsul, Newton II. axiómája csak úgy alkalmazható, ha minden testre hat a

- m a

tehetetlenségi erő, ahol

m

a test tömege,

a

pedig a koordinátarendszer gyorsulása.

Ekkor az (1) ‐ (4) egyenletek így módosulnak:

\begin{matrix} m a_{x} & = F_{x} - m A, & (1') \\ m a_{y} & = - m g + F_{y}, & (2') \\ 0 & = - F_{x} - M A, & (3') \\ 0 & = - M g - F_{y} + P, & (4') \end{matrix}

ahol

a

most a test gyorsulását jelenti az új koordinátarendszerben,

A

pedig a koordinátarendszer gyorsulását.
Az (5) egyenlet továbbra is érvényben marad, (8) helyébe pedig annak kifejezése lép, hogy a test gyorsulása lejtőirányú. (Ez álló koordinátarendszerben nyilván nem igaz.)

\begin{matrix} F_{x} = - F_{y} tgα, \end{matrix}

(5')

\begin{matrix} a_{y} = a_{x} tgα. \end{matrix}

(8')

Az új egyenletrendszert

P

-re megoldva ismét az előző eredményt kapjuk.