Kezdőlap


Feladat:	363. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Corradi Gábor , Hegedűs Cs. , Magyar G. , Schaub Piroska , Tamás E. , Treer F.
Füzet:	1964/február, 87 - 88. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tömegpont egyensúlya, Egyéb mozgás lejtőn, Feladat, Tapadó súrlódás
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1963/május: 363. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Fejezzük ki az eredő erő $F_{p}$ lejtő irányú és $F_{n}$ lejtőre merőleges komponensét:

\begin{matrix} F_{p} = G sin α - P cos α, \end{matrix}

F_{n} = G cos α + P sin α

(a pozitív irányt mindkét erőnél az ábra szerint választjuk).

Akkor van nyugalomban a test, ha

| F_{p} | \leq μ | F_{n} |

, hiszen

F_{p}

akarja mozgatni a testet, és

F_{n}

a nyomóerő. Másképpen:

F_{p} \leq μ F_{n}

(Ui.

F_{n} \geq 0

, ellenkező esetben a test nem maradna a lejtőn.)

- F_{p} \leq μ F_{n}

Az egyensúly feltételei tehát:

\begin{matrix} G sin α - P cos α \leq μ (G cos α + P sin α) & (1) \\ P cos α - G sin α \leq μ (G cos α - P sin α) & (2) \\ G cos α \leq - P sin α (F_{n} \leq 0) . & (3) \end{matrix}

A továbbiakban (3)-mal nem kell törődnünk, mert (1) és (2) tartalmazza. Ui. (1) és (2) bal oldalai egymás ellentettjei, tehát egyikük nem negatív, így a közös jobb oldal sem lehet negatív, azaz

G cos α + P sin α \leq 0

a) Az egyenlőtlenségekből

P

-t kell kifejezni.

\begin{matrix} (1)-ből & P \geq \frac{G sin α - μ G cos α}{cos α + μ sin α}, & (4) \\ (2)-ből & P \leq \frac{G sin α + μ G cos α}{cos α - μ sin α}, ha cos α - μ sin α \geq 0, & (5) \\ ill. & P \geq \frac{G sin α + μ G cos α}{cos α - μ sin α}, ha cos α - μ sin α \leq 0 & (6) \end{matrix}

(ugyanis negatív számmal való szorzás megfordítja az egyenlőtlenséget). Látható, hogy megoldás mindig van, mert az első esetben (5) jobb oldala nagyobb (4)-énél, így van köztük

P

, különben (4) és (6) mindig kielégíthető egyszerre: csak elég nagy

P

-t kell venni.

b) Teljesen hasonlóan

0 \leq tg α < + \infty

-re kapjuk, hogy

\begin{matrix} tg α \geq \frac{P - μ G}{G + μ P} . \\ tg α \leq \frac{P + μ G}{G - μ P}, ha G - μ P \geq 0, ill. \\ tg α \geq \frac{P + μ G}{G - μ P}, ha G - μ < 0. \end{matrix}

Megoldás itt is mindig létezik.

c) Ha

P

G

α

adott, (3) teljesülését fel kell tételeznünk eleve: csak ilyen

P

G

és

α

adható meg.

Ezután (1) és (2)-ből

\begin{matrix} μ \geq \frac{G cos α + P sin α}{G sin α - P cos α}, & (7) \\ μ \geq \frac{G cos α + P sin α}{P cos α - G sin α} . & (8) \end{matrix}

Látható, hogy (7) és (8) jobb oldalai egymás ellentettjei, így tartalmuk egyetlen feltételben foglalható össze:

\begin{matrix} μ \geq | \frac{G cos α + P sin α}{G sin α - P cos α} | . \end{matrix}

Ez mindig teljesíthető, bár néha valószínűtlenül nagy, esetleg

\infty μ

-t ad.

Schaub Piroska (Győr, Kazinczy F. g. III. o. t.)
dolgozata alapján