Kezdőlap


Feladat:	360. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Treer Ferenc
Füzet:	1964/január, 46 - 47. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Pontrendszer mozgási energiája, Munkatétel, energiamegmaradás pontrendszerekre, Rugalmas erő, Teljesítmény, Függvények grafikus elemzése, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1963/május: 360. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A jelenség lényege az, hogy az összenyomott rugó energiáját a kocsinak adja át mozgási energia formájában. Ha az egyik kocsit lerögzítjük, a teljes energiát a másik kapja, így sebessége feltétlenül nagyobb lesz.
Vegyük észre, hogy a két kocsira ható erő mindig azonos. Ha a rugó a két kocsit $l_{1}$ , ill. $l_{2}$ utakon gyorsítja, akkor $l_{1} + l_{2} = s - s'$ . Az erő arányosan csökken akármelyik kocsi által megtett úttal, így az erő (út szerinti) átlagértéke $P_{max} / 2$ . Tehát az egyes kocsikon végzett munkák:

\begin{matrix} L_{1} = 1 / 2 m_{1} v_{1}^{2} = (P_{max} / 2) l_{1} és L_{2} = 1 / 2 m_{2} v_{2}^{2} = (P_{max} / 2) l_{2}, \end{matrix}

ahol

\begin{matrix} L_{1} + L_{2} = (P_{max} / 2) (l_{1} + l_{2}) = (P_{max} / 2) (s - s'), \end{matrix}

azaz éppen az a munka, amelyet a rugó akkor végez a másik kocsin, ha az egyiket lerögzítettük. Innen ki is fejezhető ez esetre a kocsi

v_{2,0}

sebessége:

\begin{matrix} 1 / 2 m_{2} v_{20}^{2} = L_{1} + L_{2} = 1 / 2 m_{1} v_{1}^{2} + 1 / 2 m_{2} v_{2}^{2}, \end{matrix}

így

\begin{matrix} v_{2,0} = \sqrt[]{v_{2}^{2} + (m_{1} / m_{2}) v_{1}^{2}}, \end{matrix}

ami valóban nagyobb

v_{2}

-nél.
Azonnal látható, hogy a gyorsítás ideje ez utóbbi esetben nagyobb: azonos kezdeti gyorsulás után most lassabban csökken a gyorsító erő. Így ebben az esetben a rugó átlagos teljesítménye kisebb. (Eddigi ismereteink alapján az idők viszonyáról többet nem mondhatunk.)

A munkavégzést grafikusan úgy kaphatjuk meg, hogy az erőt

x_{1}

elmozdulás függvényében ábrázoljuk. A végzett munka egy bizonyos

x_{10}

pontig a görbe alatti terület az ábra szerint: a két trapéz területe

\begin{matrix} L_{10} = \frac{P_{max} + P_{max} \frac{l_{1} - x_{10}}{l_{1}}}{2} \cdot x_{10} = \frac{P_{max}}{2 l_{1}} (2 l_{1} x_{10} - x_{10}^{2}) . \end{matrix}

Ezt a függvényt a szaggatott vonal ábrázolja.

\begin{matrix} x_{10} = l_{1} helyen L_{10} = L_{1} = (P_{max} / 2) l_{1} . \end{matrix}

Végül, ha

m_{1} = m_{2}

, a mozgások szimmetrikusak, így

v_{1} = v_{2}

és

v_{20} = \sqrt[]{2} \cdot v_{1}

. A rugó közepe amúgy is egy helyben áll, tehát rögzítése nem változtat semmit az eddigieken.

Treer Ferenc (Bp., Piarista g. I. o. t.)
dolgozata alapján