Kezdőlap


Feladat:	356. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Kelényi Ferenc , Keviczky L. , Makai Endre , Máthé István , Mészáros György , Pálfi György , Papp M.
Füzet:	1964/január, 42 - 43. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tömegközéppont helye, Geometriai szerkesztések alkalmazása, Nyomóerő, kötélerő, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1963/március: 356. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tekintsük át a geometriai viszonyokat. A golyók középpontjai $2 R$ oldalhosszúságú, szabályos háromszög alapú, $l + R = L$ élhosszúságú egyenes gúla alaplapjának 1., 2., 3. jelzésű csúcsaiban vannak (1. ábra). E gúla térbeli magassága $M^{2} = L^{2} - \frac{4 R^{2}}{3}$ . A gúla alapján a három golyó közös súlypontja a csúcsoktól $ϱ_{1}$ , $ϱ_{2}$ , $ϱ_{3}$ távolságban van (2. ábra).

1. ábra

2. ábra

Kiszámítva e távolságokat, kapjuk:

\begin{matrix} ϱ_{1} = \frac{2 R}{Q_{1} + Q_{2} + Q_{3}} \cdot \sqrt[]{Q_{2}^{2} + Q_{2} Q_{3} + Q_{3}^{2}}, \\ ϱ_{2} = \frac{2 R}{Q_{1} + Q_{2} + Q_{3}} \cdot \sqrt[]{Q_{1}^{2} + Q_{1} Q_{3} + Q_{3}^{2}}, \\ ϱ_{3} = \frac{2 R}{Q_{1} + Q_{2} + Q_{3}} \cdot \sqrt[]{Q_{1}^{2} + Q_{1} Q_{2} + Q_{2}^{2}} . \end{matrix}

A három golyó közös súlypontjának távolsága a szabályos háromszög geometriai középpontjától:

\begin{matrix} D^{2} = \frac{4 R^{2}}{3} \cdot \frac{Q_{1}^{2} + Q_{2}^{2} + Q_{3}^{2} - Q_{1} Q_{2} - Q_{2} Q_{3} - Q_{3} Q_{1}}{{(Q_{1} + Q_{2} + Q_{3})}^{2}} \end{matrix}

A gúla csúcsától a három golyó közös súlypontjáig terjedő

H

távolság:

\begin{matrix} H^{2} = L^{2} - 4 R^{2} \cdot \frac{Q_{1} Q_{2} + Q_{2} Q_{3} + Q_{3} Q_{1}}{{(Q_{1} + Q_{2} + Q_{3})}^{2}} \end{matrix}

A súlyponthoz vezető

ϱ_{1}

ϱ_{2}

ϱ_{3}

távolságok és az oldalak által alkotott

φ_{1}

φ_{2}

φ_{3}

szögekre a háromszögből kiszámítható:

\begin{matrix} sin φ_{1} = \frac{\sqrt[]{3}}{2} \cdot \frac{Q_{3}}{\sqrt[]{Q_{2}^{2} + Q_{2} Q_{3} + Q_{3}^{2}}}, cos φ_{1} = \frac{2 Q_{2} + Q_{3}}{2 \sqrt[]{Q_{2}^{2} + Q_{2} Q_{3} + Q_{3}^{2}}}, \\ sin φ_{2} = \frac{\sqrt[]{3}}{2} \cdot \frac{Q_{1}}{\sqrt[]{Q_{3}^{2} + Q_{3} Q_{1} + Q_{1}^{2}}}, cos φ_{2} = \frac{2 Q_{3} + Q_{1}}{2 \sqrt[]{Q_{3}^{2} + Q_{1} Q_{3} + Q_{1}^{3}}}, \\ sin φ_{3} = \frac{\sqrt[]{3}}{2} \cdot \frac{Q_{2}}{\sqrt[]{Q_{1}^{2} + Q_{1} Q_{2} + Q_{2}^{2}}}, cos φ_{3} = \frac{2 Q_{1} + Q_{2}}{2 \sqrt[]{Q_{1}^{2} + Q_{1} Q_{2} + Q_{2}^{2}}}, \end{matrix}

Az egyensúlyi helyzetet az határozza meg, hogy a közös súlypont az

O

felfüggesztési pont alatt legyen, tehát

H

távolság függőlegesen helyezkedjen el. A szabályos háromszög középpontjához vezető

M

térbeli magasság a függőlegessel

α

szöget alkot, erre nézve:

\begin{matrix} cos α = \frac{M}{H} . \end{matrix}

L

hosszúságú oldalélek a súlyponthoz vezető

H

távolsággal az

α_{1}

α_{2}

α_{3}

szögeket zárják be:

\begin{matrix} cos α_{1} = \frac{L^{2} + H^{2} - ϱ_{1}^{2}}{2 L H}, cos α_{2} = \frac{L^{2} + H^{2} - ϱ_{2}^{2}}{2 L H}, cos α_{3} = \frac{L^{2} + H^{2} - ϱ_{3}^{2}}{2 L H} . \end{matrix}

A fonálerők hasonló háromszögek alapján:

\begin{matrix} F_{1} = Q_{1} \cdot \frac{L}{H}, F_{2} = Q_{2} \cdot \frac{L}{H}, F_{3} = Q_{3} \cdot \frac{L}{H} . \end{matrix}

Most kiszámítjuk azt az erőt, amely az első golyót a közös súlypont felé nyomja. Ez az erő a fonálerő és a súly eredője. Hasonló háromszögekből

P_{1} : Q_{1} = ϱ_{1} : H

, innen

\begin{matrix} P_{1} = \frac{Q_{1} φ_{1}}{H} . \end{matrix}

Keressük ennek a háromszög 1‐2 oldalába eső összetevőjét,

P_{1 (12)}

-t, a golyókat összenyomó erőt:

\begin{matrix} P_{1 (12)} : P_{1} = sin (60^{\circ} - φ_{1}) : sin 120^{\circ} . \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} P_{1 (12)} = \frac{2 R}{H} \cdot \frac{Q_{1} Q_{2}}{Q_{1} + Q_{2} + Q_{3}} . \end{matrix}

Hasonló számítással meggyőződhetünk arról, hogy

P_{2 (12)}

is ugyanekkora. A golyókat összenyomó másik két erő:

\begin{matrix} P_{23} & = \frac{2 R}{H} \cdot \frac{Q_{2} Q_{3}}{Q_{1} + Q_{2} + Q_{3}}, \\ P_{31} & = \frac{2 R}{H} \cdot \frac{Q_{3} Q_{1}}{Q_{1} + Q_{2} + Q_{3}} . \end{matrix}

A számadatok a mi esetünkben:

L = l + R = 12, 5

cm,

M = 11, 05

cm,

H = 11, 25

cm,

D = 2, 08

cm,

ϱ_{1} = 7, 2

cm,

ϱ_{2} = 6, 56

cm,

ϱ_{3} = 3, 97

cm.

α = 10, 9^{\circ}

α_{1} = 34, 9^{\circ}

α_{2} = 31, 6^{\circ}

α_{3} = 18, 5^{\circ}

;

φ_{1} = 40, 9^{\circ}

φ_{2} = 13, 9^{\circ}

φ_{3} = 36, 6^{\circ}

F_{1} = 2, 22

kp,

F_{2} = 3, 34

kp,

F_{3} = 6, 67

kp,

P_{12} = 0, 485

kp,

P_{23} = 1, 332

kp,

P_{31} = 0, 888

kp.