Feladat:	353. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Antal Magdolna ,  Corradi Gábor ,  Magyar Gábor ,  Makai Endre ,  Szentai Judit
Füzet:	1964/január, 39 - 40. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Egyéb körmozgás, Hajítások, Nyomóerő, kötélerő, Energiamegmaradás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1963/március: 353. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Legyen a tömegpont sebessége a $K$, $D$ és $A$ pontokban rendre $v_K$, $v_D$ és $v_A$. Határozzuk meg először $v_A$ nagyságát! $A$ és $B$ között a tömegpont parabolapályán mozog. Ez a mozgása vízszintes $v_A$ sebességű egyenesvonalú egyenletes mozgásból és szabadesésből tevődik össze. Ha a tömegpont $t$ idő alatt teszi meg az $A$ és $B$ közötti útszakaszt, akkor $\begin{array}{c}{\displaystyle v_{A}t=a\mathrm{,}\text{másrészt}R=g{t}^2/2.}\end{array}$ Ezekből t-t kiküszöbölve kapjuk, hogy $v_A=\sqrt[]{a^{2}g/2R}$. $v_A$ ismeretében az energiamegmaradás tétele segítségével könnyen megkaphatjuk $v_K$-t. $K$-ban és $A$-ban a mechanikai energiák egyenlők: $m{v}_K^2/2=mg\left(h+R\right)+m{v}_A^2/2$, innen $v_A$ kiszámított értékének behelyettesítésével kapjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle v_K=\sqrt[]{2g\left(h+R\right)+a^{2}g/2R}\mathrm{.}}\end{array}$ Az $A$ pontban a tömegpontra két erő hat: súlya és a pályanyomás reakcióereje $P_A$. E két erő összege a centripetális erő: $\begin{array}{c}{\displaystyle m{v}_A^2/R=mg-P_A\mathrm{,}}\end{array}$ innen ($v_A$-t behelyettesítve) $\begin{array}{c}{\displaystyle P_A=m\left(g-\frac{v_A^2}{R}\right)=mg\left(1-\frac{a^2}{2R^2}\right)\mathrm{.}}\end{array}$     A $D$ pontban a pályanyomás nincs egyértelműen meghatározva, itt ugyanis ugrásszerűen változik. Nyilvánvaló, hogy amíg a tömegpont a $KD$ szakaszon mozog, addig a pályanyomás 0. Mihelyt azonban a körpályára ér, a pályanyomás egyenlő lesz a centripetális erő reakcióerejével, nagyság szerint magával a centripetális erővel. (A $D$ pontban a pálya függőleges, és így a nehézségi erő nem játszik szerepet.) Tehát a $P_D$ pályanyomás: $P_D=m{v}_D^2/R$. $v_D$-t az energiatételből $v_K$-hoz hasonlóan meghatározhatjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle m{v}_D^2/2=mgR+m{v}_A^2/\mathrm{2,}}\end{array}$ innen $v_A$-t helyettesítve kapjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle v_D^2=a^{2}g/2R+2Rg\mathrm{,}\text{és így}{P}_D^2=mg\left(a^2/2R^2+2\right)\mathrm{.}}\end{array}$ A $D$ pontban a pályanyomás tehát ugrásszerűen megnő 0-ról $P_D$-re.    Szentai Judit (Budapest, Kanizsay D. g. II. o. t.)   Megjegyzések: 1) Abból, hogy a $P_A\ge 0$, a feladat megoldhatóságára az $a\le R\sqrt[]{2}$ szükséges feltételt kapjuk. A K. M. L. XXVI. 2. számában megjelent cikk alapján könnyen beláthatnánk, hogy ez a feltétel elégséges is, mert a pályanyomás nagysága monoton csökken.    Magyar Gábor (Sopron, Berzsenyi D. g. III. o. t.)   2) Az energiatétel felhasználása nélkül is megoldhatjuk a feladatot olymódon, hogy a körpályát elemi lejtők összegének fogjuk fel, és ezeken a lejtőkön egyenletesen gyorsuló mozgással számolunk.   Corradi Gábor (Győr, Czuczor G. g. III. o. t.)