Kezdőlap


Feladat:	341. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Mészáros György
Füzet:	1963/december, 234 - 235. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Erők forgatónyomatéka, Egyéb munka, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1963/március: 341. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha a henger minden esetben egyensúlyban van, felírhatjuk a lépcső élére vonatkoztatott forgatónyomatékok egyenlőségét:

\begin{matrix} P \cdot k = G \sqrt[]{d^{2} / 4 - h'^{2}} . \end{matrix}

(1)

(A jelöléseket l. az 1. ábrán). A fenti egyenlet alapján a feladat valamennyi kérdésére általánosan választ adhatunk.

\begin{matrix} 1. ábra \end{matrix}

a) Ha

P = G

\begin{matrix} k = \sqrt[]{d^{2} / 4 - h'^{2}} . \end{matrix}

α

irányszögű tolóerő esetén

\begin{matrix} \sqrt[]{d^{2} / 4 - h'^{2}} + h' / tg α) sin α = \\ = h' cos α + \sqrt[]{d^{2} / 4 - h'^{2}} \cdot sin α \end{matrix}

(l. az 1. ábrát). A kettő egyenlőségéből

\begin{matrix} h' cos α = \sqrt[]{d^{2} / 4 - h'^{2}} (1 - sin α), tehát \\ h'^{2} (1 - sin^{2} α) = (d^{2} / 4 - h' 2) (1 - 2 sin α + sin^{2} α), amiből \\ sin α = \frac{d^{2} / 2 - 2 h'^{2} \pm 2 h'^{2}}{d^{2} / 2} sin α = \frac{d^{2} - 8 h'^{2}}{d^{2}}, \end{matrix}

hiszen a

sin α = 1

gyök nem felel meg a feladat természetének.

h = d / 2

esetén

h' = 0

sin α = 1

α = 90^{\circ}

, azaz a hengert csak függőlegesen felfelé lehet tolni,

\begin{matrix} 2. ábra \end{matrix}

P

akkor minimális, ha

k

maximális, azaz

d / 2

-vel egyenlő. Ekkor a 2. ábra alapján

\begin{matrix} cos α_{min} = \frac{2 h'}{d} . \end{matrix}

h = d / 2

h' = 0

cos α_{min} = 0

α_{min} = 90^{\circ}

és

P = G

, vagyis akkor az a) esetben a

P

erő egyben a minimális értéket veszi fel.
A) Ha az erő irányát megtartjuk, (1) alapján írhatjuk:

\begin{matrix} P = \frac{G \sqrt[]{d^{2} / 4 - h'^{2}}}{h' cos α + \sqrt[]{d^{2} / 4 - h'^{2} \cdot sin α}} . \end{matrix}

Az erő tehát az emelés időtartama alatt állandóan változik, mivel

h

értéke is változik.
B) Ha az erő mindig a minimális,

k

mindig

d / 2

-vel egyenlő, azaz (1)-ből

\begin{matrix} P = \frac{2 G \sqrt[]{d^{2} / 4 - h'^{2}}}{d}, \end{matrix}

a minimális tolóerő tehát szintén változik

h'

függvényében.
Ha a henger sebessége a lépcső tetején is nulla, a munkavégzés mindkét esetben a súlypont

h

magasságba való emeléséhez szükséges

G h

Mészáros György (Bp., Piarista g. II. o. t.) dolgozata alapján