Kezdőlap


Feladat:	340. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ormai Lóránt , Sándor Zoltán
Füzet:	1963/december, 233 - 234. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Gördülés lejtőn, Energiamegmaradás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1963/március: 340. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A következő tényeket használjuk fel.

a) Homogén golyó középpontján átmenő tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomatéka

I = 2 m r^{2} / 5

, ahol

m

a golyó tömege,

r

a sugara.
b) Bármely rendszer tömegközéppontja úgy mozog, mintha a rá ható összes erők (vektori) összege a tömegközéppontra mint a rendszer össztömegével egyenlő tömegű tömegpontra hatna (tömegközéppont mozgásának tétele).
c) Merev test mozgása egy kiszemelt pontja haladó mozgásából, és e pont körüli elfordulásból tehető össze. Ha ez a pont a tömegközéppont, akkor az e körüli forgás olyan, mintha rögzített tengely esetén hoznák létre a testre ható erők: A tömegközéppont esetében tehát a haladó és forgó mozgást leíró egyenletek szétválnak, függetlenek egymástól.
Jelen esetben a golyóra három erő hat: a

G

nehézségi erő, a

P_{n}

nyomóerő, amely nem engedi behatolni a felületbe, és a

P_{s}

súrlódási erő, amely nem engedi csúszni, hanem gördülésre kényszeríti (l. az ábrát). A három erő (vektori) összege csak lejtőirányú lehet, hiszen a golyó 0 középpontjának általa előidézett mozgása a lejtő mentén történik. Mivel

P_{s}

maga is lejtő‐irányú, kell, hogy

G + P_{n} = P

is ilyen legyen. Így az ábra szerint

P = G sin α

, illetve

P_{n} = G cos α

. A golyó középpontjának

a

gyorsulására tehát:

\begin{matrix} m a = P - P_{s} . \end{matrix}

(1)

Másrészt az

O

körüli forgás szöggyorsulása (mivel csak

P_{s}

-nek van forgatónyomatéka

O

-ra nézve):

\begin{matrix} β = P_{s} r / I, ahonnan P_{s} = β I / r . \end{matrix}

(2)

Ezt (1)-be helyettesítve, és felhasználva, hogy ha nincs csúszás

r β = a

\begin{matrix} m a = m (r β) = P - β I / r, \end{matrix}

amiből

β

-t kifejezve:

\begin{matrix} β = \frac{P}{m r + I / r} = \frac{P r}{m r^{2} + I} = \frac{r m g sin α}{2 m r^{2} / 5 + m r^{2}} = g \frac{r sin α}{7 r^{2} / 5} = \frac{5 g sin α}{7 r}, \end{matrix}

ami most

5 \cdot 981 \cdot 0, 422 / 7 \cdot 10 = 29, 5 {sec}^{- 2}

.
A golyó nem csúszik, ha

μ P_{n} ≧ P_{s}

(

μ

a súrlódási együttható), tehát (2) felhasználásával:

\begin{matrix} μ ≧ \frac{P_{s}}{P_{n}} = \frac{β I}{r P_{n}} = \frac{P r I}{r P_{n} (m r^{2} + I)} = \frac{m g sin α}{m g cos α (m r^{2} / I + 1)} = \\ = \frac{tg α}{1 + m r^{2} / I} = \frac{tg α}{1 + \frac{m r^{2}}{2 m r^{2} / 5}} = \frac{2 tg α}{7}, a mi esetünkben \\ 2 \cdot 0, 468 / 7 = 0, 133. \end{matrix}

Ormai Lóránt (Pannonhalma, Bencés g. III. o. t.)

II. megoldás. Most azt használjuk fel, hogy merev test mozgási energiája

E_{m} = m v^{2} / 2 + I ω^{2} / 2

, ahol

m

a tömeg,

v

a tömegközéppont sebessége,

I

a tömegközépponton átmenő (pillanatnyi) forgástengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomatéka,

ω

pedig az e körüli forgás szögsebessége.
Jelen esetben álló helyzetből indulva,

h

függőleges süllyedés után az energiamegmaradás tétele szerint:

\begin{matrix} m g h = m v^{2} / 2 + I ω^{2} / 2. \end{matrix}

(3)

Mivel most

v = ω r

(kerületi- és szögsebesség), továbbá, ha a megtett fordulat

φ

szög (

φ ≧ 2 π

is lehet), akkor

h = r φ sin α

(ahol

r φ

a lejtő mentén megtett út: l. az ábrát), és

\begin{matrix} E_{m} = m {(ω r)}^{2} / 2 + I ω^{2} / 2 = ω^{2} (m r^{2} + I) / 2. \end{matrix}

Ezeket (3)-ba írva, és ebből

ω

-t kifejezve:

\begin{matrix} m g r φ sin α = ω^{2} (m r^{2} + I) / 2, azaz \\ ω = \sqrt[]{2 \frac{m g r sin α}{m r^{2} + I} φ} . \end{matrix}

Ez minden

φ

-re igaz:

ω

a szögsebesség

φ

fordulat után. De ez az összefüggés a

v = \sqrt[]{2 a s}

egyenlőség megfelelője (kezdősebesség nem volt!), ahol a konstans

a

most a szöggyorsulás:

\begin{matrix} β = \frac{m g r sin α}{m r^{2} + I} = \frac{5 g sin α}{7} \end{matrix}

A megoldás további része lényegében az előzővel azonos.

Sándor Zoltán (Ráckeve, Ady E. g. III. o. t.) dolgozata alapján