Kezdőlap


Feladat:	338. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Ferenczi György , Kiss P. , Patkós András , Simonovits András , Vadász István
Füzet:	1963/december, 230 - 232. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Impulzusmegmaradás törvénye, Munkatétel, energiamegmaradás pontrendszerekre, Inerciarendszer, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1963/március: 338. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladat teljesen egyértelmű szövegezésű, ennek ellenére sokan helytelenül értelmezték a szöveget, mások pedig hiányosan oldották meg, s így tanulságos lesz a feladatot részletesebben kidolgozni.
A feladat szerint az ember a vízbe veti magát, méghozzá a csónakhoz képest 6 m/sec sebességgel. Ez csak azt jelentheti, hogy mire az ember eléri a végsebességet, addigra a csónakhoz képest 6 m/sec sebessége lesz, de a Földhöz képest nyilván nem $3 m/sec + 6 m/sec = 9 m/sec$ , mert eközben a csónak is lelassul, amit figyelembe kell vennünk.
A kérdés úgy szól tovább, hogy mekkora munkát végzett az ember saját maga felgyorsítására. Nem annyit, amennyi az ő mozgási energiájának megváltozásához szükséges, hanem az eredeti rendszerben nézve kevesebbet annál (mert a csónak mozgási energiája csökkent, az ember rajta negatív munkát végzett), a mozgó rendszerben nézve többet annál, mert a csónakon is munkát kellett végeznie, hogy növelje annak mozgási energiáját. Ugyanis a felgyorsítási munka a zárt rendszer teljes mozgási energia megváltozásával egyenlő.
Az áttekinthetőség kedvéért oldjuk meg a feladatot először teljesen általánosan.
Legyenek a csónak adatai 1-es, az ember adatai 2-es indexszel ellátva, az ugrás előtti sebességet $v$ -vel, az ugrás utániakat $u$ -val, az embernek a csónakhoz viszonyított sebességét $w$ -vel jelöljük. A mozgó koordinátarendszerben az adatokat vesszővel látjuk el.

A mozgásmennyiség megmaradásának tétele alapján:

\begin{matrix} (m_{1} + m_{2}) \cdot v = m_{1} u_{1} + m_{2} u_{2}, ahol u_{2} = u_{1} + w . \end{matrix}

Így

\begin{matrix} (m_{1} + m_{2}) \cdot v = (m_{1} + m_{2}) \cdot u_{1} + m_{2} w, ahonnan a  keresett sebesség: \\ u_{1} = v - \frac{m_{2}}{m_{1} + m_{2}} w, \end{matrix}

és az ember sebessége

u_{2} = u_{1} + w

-ből

\begin{matrix} u_{2} = v + \frac{m_{1}}{m_{1} + m_{2}} w . \end{matrix}

Mivel

\begin{matrix} Δ E_{m_{2}} = \frac{1}{2} m_{2} [{(v + \frac{m_{1}}{m_{1} + m_{2}} w)}^{2} - v^{2}] = \\ = \frac{1}{2} m_{2} [v^{2} + \frac{2 m_{1}}{m_{1} + m_{2}} v w + \frac{m_{1}^{2}}{{(m_{1} + m_{2})}^{2}} w^{2} - v^{2}] = \\ = \frac{m_{1} \cdot m_{2}}{m_{1} + m_{2}} v w + \frac{m_{2} m_{1}^{2}}{{(m_{1} + m_{2})}^{2}} w^{2}, és \\ Δ E_{m_{1}} = \frac{1}{2} m_{1} [{(v - \frac{m_{2}}{m_{1} + m_{2}} w)}^{2} - v^{2}] = \\ = \frac{1}{2} m_{1} [v^{2} - \frac{2 m_{2}}{m_{1} + m_{2}} v w + \frac{m_{2}^{2}}{{(m_{1} + m_{2})}^{2}} w^{2} - v^{2}] = \\ = - \frac{m_{1} m_{2}}{m_{1} + m_{2}} v w + \frac{m_{1} m_{2}^{2}}{{(m_{1} + m_{2})}^{2}} w^{2}, \\ L = Δ E_{m_{1}} + Δ E_{m_{2}} = \frac{m_{1} m_{2}^{2} + m_{1}^{2} m_{2}}{2 {(m_{1} + m_{2})}^{2}} w^{2} = \frac{m_{1} m_{2} (m_{1} + m_{2})}{2 {(m_{1} + m_{2})}^{2}} w^{2} = \frac{m_{1} m_{2}}{2 (m_{1} + m_{2})} w^{2} . \end{matrix}

Végezzük el a számolást a csónak eredeti sebességével mozgó rendszerben.

\begin{matrix} 0 = (m_{1} + m_{2}) u'_{1} + m_{2} w, (u'_{2} = u'_{1} + w), ahonnan \\ u'_{1} = - \frac{m_{2}}{m_{1} + m_{2}} w; \\ u'_{2} = u'_{1} + w = w - \frac{m_{2}}{m_{1} + m_{2}} w = \frac{m_{1}}{m_{1} + m_{2}} w . \\ Δ E'_{m_{1}} = \frac{1}{2} m_{1} \frac{m_{2}^{2}}{{(m_{1} + m_{2})}^{2}} w^{2}, \\ Δ E'_{m_{2}} = \frac{1}{2} m_{2} \frac{m_{1}^{2}}{{(m_{1} + m_{2})}^{2}} w^{2} . \end{matrix}

Tehát

\begin{matrix} L' = \frac{m_{1} m_{2}^{2} + m_{2} m_{1}^{2}}{2 {(m_{1} + m_{2})}^{2}} w^{2} = \frac{m_{1} m_{2}}{2 (m_{1} + m_{2})} w^{2} = L . \end{matrix}

Numerikus adatokkal

\begin{matrix} u_{1} & = 3 m/sec - 60 / 210 \cdot 6 m/sec = 1, 286 m/sec, \\ u_{2} & = 7, 286 m/sec . \\ Δ E_{m_{1}} & = - 551, 02 joule, \\ Δ E_{m_{2}} & = 1322, 45 joule . \end{matrix}

L = (1322, 45 - 551, 02) joule = 771, 43

joule az a munka, amelyet az ember végzett.

A mozgó koordinátarendszerben:

\begin{matrix} u'_{2} & = - 1, 7142 m/sec, E'_{m_{1}} = 220, 4 joule, \\ u'_{2} & = 4, 2858 m/sec, E'_{m_{2}} = 551, 02 joule, \\ L' & = (551, 02 + 220, 41) joule = 771, 43 joule = L . \end{matrix}

Holics László