Feladat: 333. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Kiss Gábor ,  Makai Endre ,  Máté Z. ,  Máthé István ,  Mészáros Gy. ,  Pelikán József 
Füzet: 1963/december, 225 - 226. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Gömbtükör, Gyűjtőlencse, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1963/február: 333. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A gömbtükör sugarát a közismert távolságtörvénnyel kaphatjuk meg. Ide a megadott értékeket behelyettesítve kapjuk, hogy a gömbtükör fókusztávolsága 1 m, így sugara 2 m.

 
 
1. ábra
 

A tengellyel párhuzamosan érkező fénysugarak áthaladnak a lencse fókuszpontján. Azok a fénysugarak (vagy meghosszabbításuk), amelyek a lencsét a tengellyel párhuzamosan hagyják el, áthaladtak a fókuszponton. A fókuszpontot a tükör szempontjából tárgyként kezelhetjük. A tükröt tehát úgy kell elhelyezni a lencséhez viszonyítva, hogy az a lencse fókuszát önmagára képezze le. Jelöljük x-szel a gömbtükör és a lencse fókuszának távolságát, akkor x≠0 esetén írható, hogy 1x+1x=1f, innen x=2 m. Az x=0 esetet külön megvizsgálva azt találjuk, hogy ez is megoldás. Ez ugyanis azt jelenti, hogy a tükör fénytani középpontja egybeesik a lencse fókuszával, tehát az ide érkező ‐ és így eredetileg a tengellyel párhuzamos ‐ sugarak azonnal visszaverődnek, a lencséből tehát ismét a tengellyel párhuzamosan lépnek ki. Mivel a lencse 0,5 dioptriás, ezért fókuszától további 2 m-re helyezkedik el, így a tükör és a lencse két megfelelő távolsága 2 m, illetve 4 m.
 
 
2. ábra
 

 Makai Endre (Bp., Eötvös J. g. II. o. t.)
 
II. megoldás. (A feladat második része). Bármely gömbtükörre igaz a következő tétel. Legyen a tükör (előjeles) fókusztávolsága f, a tárgynak a fókusztól mért előjeles távolsága t', a kép előjeles távolsága a fókusztól k', és ne legyen egyik sem 0. Ekkor f2=f'k'. Ezt a tételt a következő módon igazolhatjuk. A gömbtükör távolságtörvénye a fenti jelöléseket használva: 1f+t'+1f+k'=1f, ahonnan közös nevezőre hozás és a kijelölt műveletek elvégzése után a bizonyítandó egyenlőségre jutunk.
Az előző megoldásban láttuk, hogy a tárgynak és a képnek (mindkettő a lencse fókusza) egybe kell esnie, tehát t'=±f=±1 m. Mivel a gömbtükör fókusztávolsága 1 m, a lencséé pedig 2 m, ezért a keresett távolság 1m+2 m±1 m=3 m±1 m, azaz 2 m vagy 4 m.
 
 Kiss Gábor (Debrecen, Kossuth L. gyak. g. IV. o. t.)
 
III. megoldás (a feladat második részére). A tengellyel párhuzamos fénysugár áthalad a lencse fókuszán és a tükör visszaverődési pontján. Mivel ez a sugár a tengellyel párhuzamosan hagyja el a rendszert, kell, hogy átmenjen a lencse fókuszán, továbbá nyilván a visszaverődési ponton is. Két esetet különböztetünk meg.
 
 
3. ábra
 

a) A visszaverődési pont és a lencse fókusza nem esnek egybe. Ekkor, mivel két különböző ponton át csak egy egyenes húzható, a fénysugár önmagába verődik vissza. Mivel a síknak csak egy olyan pontja van, és ez a kör középpontja, ahonnan egy kör bármely kerületi pontjához egyenest húzva, az merőleges a pontbeli érintőre, kell, hogy ilyenkor a lencse fókusza egybeessék a gömbtükör geometriai középpontjával. Ez azt jelenti, hogy ilyenkor a lencse és a tükör távolsága 4 m.
b) A visszaverődési pont egybeesik a lencse fókuszával. Az előző megoldásokban láttuk, hogy ez az összeállítás kielégíti a feladat követelményeit. Ilyenkor a lencse és a tükör távolsága 2 m.
 
 Pelikán József (Bp., Fazekas M. g. I. o. t.)
 
Megjegyzések: 1. Ha csak azokat a fénysugarakat vesszük tekintetbe, amelyek a feladatban szereplő fényforrástól származnak, akkor a 4 m-es megoldásnak nincs értelme.
2. Többen lényegesnek tartották, hogy a 2 m-es megoldásnál a fénysugár a tengelyre szimmetrikusan verődik vissza. Ez tévedés. Itt egyedül az lényeges, hogy a fény a fókuszban verődik vissza. Alkalmas lenne tehát ebben az esetben egy fókuszban lebegő porszem is, amely a fényt szórja.