Kezdőlap


Feladat:	322. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Lánc József
Füzet:	1963/november, 175 - 176. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kepler I. törvénye, Kepler II. törvénye, Kepler III. törvénye, Űrszondák, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1963/január: 322. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Valamely $M$ tömegű vonzócentrumtól $r$ távolságban $v$ sebességgel mozgó égitest fél‐nagytengelyét a

\begin{matrix} v^{2} = f M (\frac{2}{r} - \frac{1}{a}) \end{matrix}

(1)

összefüggés alapján számíthatjuk ki, ahol

f

a gravitációs állandó. (Lásd lapunk 1962. novemberi számában az idézett cikket.)
A feladat feltételének megfelelően indított mesterséges bolygó adatai legyenek az (1) összefüggésben szereplők, ekkor a Föld sebessége

n v

, ahol

n

adott. A földpálya sugara ugyanezen

r

érték, tehát a Földre felírva

\begin{matrix} n^{2} v^{2} = f M \frac{1}{r} . \end{matrix}

(2)

Helyettesítsük be

v^{2}

(1) alatti kifejezését.

f M

-mel egyszerűsíthetünk. Így

\begin{matrix} n^{2} (\frac{2}{r} - \frac{1}{a}) = \frac{1}{r} . \end{matrix}

Innen a fél‐nagytengely kifejezhető:

\begin{matrix} a = \frac{n^{2}}{2 n^{2} - 1} r . \end{matrix}

(3)

Indításkor a mesterséges bolygó sebessége merőleges a pillanatnyi sugárra a feladat szerint, tehát az indítás perihéliumban vagy aphéliumban történt. Mivel a feladat szerint

n > 1

, (3) szerint

a < r

, tehát a bolygót aphéliumban indították, így

r = a (1 + e)

, ahol

e

a numerikus excentricitás. Ebből

\begin{matrix} e = \frac{r}{a} - 1 = \frac{2 n^{2} - 1}{n^{2}} - 1 = 2 - \frac{1}{n^{2}} - 1 = 1 - \frac{1}{n^{2}} . \end{matrix}

(4)

A perihélium távolság

\begin{matrix} a (1 - e) = \frac{n^{2}}{2 n^{2} - 1} r \frac{1}{n^{2}} = \frac{r}{2 n^{2} - 1}, \end{matrix}

tehát a Nap felületét a mesterséges bolygó

\begin{matrix} h = \frac{r}{2 n^{2} - 1} - R \end{matrix}

(5)

távolságra közelíti meg, ahol

R

a Nap sugara.

Kepler III. törvénye szerint a mesterséges bolygó keringési ideje

\begin{matrix} t = T {(\frac{a}{r})}^{3 / 2} = \frac{n^{3}}{{(2 n^{2} - 1)}^{3 / 2}} T \approx \frac{T}{2 \sqrt[]{2}} . \end{matrix}

(6)

Az utóbbi közelítést akkor engedhetjük meg, ha

n

elég nagy, mert ekkor

2 n^{2}

mellett az 1 elhanyagolható.
A feladat adatai:

n = 10

r = 150

Mkm,

T = 365

nap,

R = 696 000

km. Ezen adatok mellett (4), (3), (6) és (5) szerint:

\begin{matrix} e = 0, 99; a = 75, 4 Mkm; t = 130 nap; h = 58 000 km . \end{matrix}

Lánc József (Bp., I. István g. IV. o. t.)