Kezdőlap


Feladat:	320. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Corradi Gábor , Manno István , Máté Zoltán , Simon István , Tichy Géza
Füzet:	1963/november, 173 - 174. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkinga, Nehézségi erő, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1963/január: 320. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Annak ellenére, hogy az inga kis tágasságú lengéseket végez, nem lehet gépiesen alkalmazni a $T = 2 π \sqrt[]{l / g}$ képletet. Ennek levezetésénél ugyanis nem azt használtuk ki lényegesen, hogy az inga lengése során a súlyerő irányának megváltozása kicsi, hanem azt, hogy elhanyagolható az inga kitérésének szögéhez képest. Ha az inga hossza a földsugár nagyságrendjébe esik, ez az elhanyagolás nem tehető meg.

Nevezzük a nyugalomban levő inga fonala által meghatározott irányt függőlegesnek! Legyen valamely kilendített helyzetben a fonálnak a függőlegessel bezárt szöge

α

! Az inga hossza általánosan

l

, a súlyerő a függőlegessel

β

szöget zár be (esetünkben

α = β

). A tömegpontra ható súlyerőt fonálirányú és erre merőleges összetevőkre bontjuk; az utóbbi a mozgató komponens. Az ábráról világos, hogy

A B C ∢ = α

, és hogy

C A B ∢ = β

. Ez viszont azt jelenti, hogy

A C D ∢ = α + β

, mint az

A B C △

külső szöge. De akkor az inga tömegét mozgató erő

P = m g sin (α + β) = m g (sin α cos β + cos α sin β)

. Itt

α

és

β

olyan kis szögek, hogy koszinuszuk

1

-nek vehető:

P = m g (sin α + sin β)

. Kis szögekről lévén szó világos, hogy szinusz helyett írhatunk tangenst:

P = m g (sin α + tg β)

. Ha a kitérést

y

-nal jelöljük, akkor ennek alapján írható, hogy

P = m g y (\frac{1}{l} + \frac{1}{R + Δ})

. Mivel a mozgató erő arányos a kitéréssel, harmonikus rezgőmozgásról van szó. Fejezzük ki az előbbi összefüggésből

y

-t:^{$^{*}$}

\begin{matrix} y = \frac{P l}{m g} \cdot \frac{R}{R + l} . \end{matrix}

Ezt már behelyettesíthetjük a rezgésidő képletébe:

\begin{matrix} T = 2 π \sqrt[]{\frac{m y}{P}} = 2 π \sqrt[]{\frac{l}{g}} \cdot \sqrt[]{\frac{R}{R + l}} . \end{matrix}

Esetünkben

l = R

, ezért ekkor

\begin{matrix} T = 2 π \sqrt[]{\frac{R}{2 g}}, \end{matrix}

Ha a sarki

g

-vel,

983, 2

{sec}^{- 2}

-vel számolunk:

T = 3575 sec = 59 min 35 sec = 59, 58

min.

Corradi Gábor (Győr, Czuczor G. g. III. o. t.)

^{$^{*}$}Kis eltérés esetén

Δ

nyilván elhanyagolható.