Kezdőlap


Feladat:	318. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Corradi Gábor , Ormai Lóránt , Schaub Piroska
Füzet:	1963/november, 171 - 172. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb felületi feszültség, Függvények grafikus elemzése, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1963/január: 318. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A szappanhártya a hasábban az ábrán látható alakzatot veszi fel, mely 8 egybevágó egyenlőszárú trapézból, 4 egybevágó egyenlőszárú háromszögből és egy négyzetből áll. A négyzet a hasáb magasságának felében helyezkedik el. (L. a KML XXIV. ‐ 1962 ‐ köt. 1‐2. számában megjelent cikket.) Vegyük a kis négyzet $x$ oldalhosszát változónak. A trapézok magassága az ábra szerint:

\begin{matrix} m_{1} = \sqrt[]{{(\frac{6}{2})}^{2} + {(\frac{10 - x}{2})}^{2}}, \end{matrix}

területe:

\begin{matrix} T_{1} = \frac{10 + x}{2} m_{1} = \frac{10 + x}{4} \sqrt[]{36 + {(10 - x)}^{2}} . \end{matrix}

1. ábra

A háromszögek magassága:

\begin{matrix} m_{2} = \sqrt[]{2} \cdot \frac{10 - x}{2}, \end{matrix}

területe:

\begin{matrix} T_{2} = \frac{6}{2} \cdot \sqrt[]{2} \cdot \frac{10 - x}{2} = \frac{3 \sqrt[]{2}}{2} (10 - x) . \end{matrix}

Tehát a hártya teljes felszíne:

\begin{matrix} F = 8 T_{1} + 4 T_{2} + x^{2} = 2 (10 + x) \sqrt[]{36 + {(10 - x)}^{2}} + 6 \sqrt[]{2} (10 - x) + x^{2} . \end{matrix}

F (x)

görbét grafikonon ábrázolva, kb.

x = 6, 2

cm-nél találunk egy minimumot, itt

F = 298, 8 {cm}^{2}

2. ábra

Vizsgáljuk meg a

120^{\circ}

-os lapszögek követelményét. A két trapéz és a háromszög síkjának egymással bezárt szöge csak úgy lehet

120^{\circ}

-os, ha közös egyenesük a négyzetes hasáb négyzetlapjához tartozó kocka testátlója (l. a fent említett cikket: az állítás egyszerűen bizonyítható precíz matematikai eszközökkel is.) Ekkor azonban a

γ

szög

45^{\circ}

-os lesz, így

l = 3

cm, és a kis négyzet oldalhosszúsága

x = 10 - 2 l = 4

cm, a felszín nagysága

F = 306, 8 {cm}^{2}

. Ha két szomszédos trapéz és a négyzet síkja zár be egymással

120^{\circ}

-os lapszöget,

l = 3 \cdot ctg 60^{\circ} = \sqrt[]{3}

, ebből

x = 10 - 2 \sqrt[]{3} = 6, 55

és

F = 299, 2 {cm}^{2}

.
Látható, hogy síklapok esetében nem teljesülhet egyszerre a minimális felszín és a

120^{\circ}

-os lapszögek feltétele, ezért a felület görbült lesz. A görbült négyzet csúcsainak távolsága kb.

6, 1

cm.

Schaub Piroska (Győr, Kazinczy g. III. o. t.)
Megjegyzés Vermes Miklós utólagos megjegyzését lásd az 1964. évi 3. füzet 143. oldalán. (A szerk.)