Kezdőlap


Feladat:	cff0310	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Báthory Anna , Kemenes János , Manno I. , Szabó László
Füzet:	1963/október, 93 - 94. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kepler III. törvénye, Mesterséges holdak, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: cff0310 feladat dekódolása nem sikerült. 1962/december: cff0310

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$a)$ Tekintsünk egy mesterséges holdat, amely az $M$ tömegű Föld körül $a$ átlagtávolságban kering, azaz ez pályájának fél nagytengelye. Ha a keringési idő $T$ , akkor felírhatjuk, hogy

\begin{matrix} a = \sqrt[3]{\frac{f M}{4 π^{2}} T^{2}} . (KML XXV.‐1962/11.‐ 163. old.) \end{matrix}

Ha a fél nagytengelyt kétszeresére növeljük, megkövetelve azt, hogy közben a keringési idő ne változzék, a Föld tömegét

M'

-re kell változtatnunk. Az előző összefüggés itt is felírható:

\begin{matrix} 2 a = \sqrt[3]{\frac{f M'}{4 π^{2}} T^{2}} . \end{matrix}

E két összefüggés alapján

M'

már könnyen kifejezhető

M

-mel; azt kapjuk, hogy

M' = 8 M

. Tekintettel arra, hogy ebben az összefüggésben nem szerepel olyan mennyiség, amely egy mesterséges holdra jellemző, mondhatjuk, hogy ekkor valamennyi mesterséges hold eleget tesz a feladat követelményeinek.

b)

A fent idézett cikk alapján az előző jelölésekkel írható, hogy az

r

sugarú körpályán a mesterséges hold sebessége

\sqrt[]{f M / r}

.
Az

M''

tömegű Föld középpontjától

r

távolságra ugyanez lesz a szökési sebesség:

\sqrt[]{2 f M'' / r}

.
A két kifejezés egyenlőségéből megkapjuk a megoldást:

M'' = M / 2

; ez sem tartalmaz egyetlen mesterséges holdra jellemző mennyiséget.

Báthory Anna (Bp., Apáczai Csere J. g. IV. o. t.)

Megjegyzés: A feladatot úgy is érthetjük, hogy a Föld felszínétől mért átlagtávolságot kell megkétszereznünk. Hasonló gondolatmenettel kapjuk ekkor a következő eredményt:

M' = \frac{{(R + 2 h)}^{3}}{{(R + h)}^{3}} M

, ahol

h

a mesterséges hold eredeti földfelszín-feletti magassága. Látható, hogy a feladat ilyen értelmezése mellett nem jutunk eredményre, mert a képletben szerepel

h

, amely a mesterséges hold speciális választásától függ.

Kemenes János (Bp., Könyves K. g. IV. o. t.) és
Szabó László (Bp., József A. g. IV. o. t.)