Kezdőlap


Feladat:	296. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Sólyom Ilona
Füzet:	1963/szeptember, 38. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Centrifugális erő, Körmozgás (Tömegpont mozgásegyenlete), Newton-féle gravitációs erő, Mesterséges holdak, Súlyos és tehetetlen tömeg ekvivalanciája, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1962/november: 296. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A tehetetlen tömeg meghatározása Newton II. törvényéből adódik: $m_{t} = \frac{P}{a}$ . A súlyos tömeget a gravitáció törvénye határozza meg: ha $M$ a Föld tömege, akkor a tárgy súlyos tömege $m_{g} = \frac{P r^{2}}{f M}$ ; $r$ a távolság, $f$ a gravitációs állandó. Feladatunkban az űrhajó pontos körpályán mozog, ugyanekkor a fényképezőgép nem mozoghat pontos körpályán, ha más a tehetetlen és a súlyos tömegének aránya, mint az űrhajónál. A fényképezőgép szigorúan véve ellipszispályán mozog, ennek pontos számítását azonban nem végezzük el, mert csak a hiba körülbelüli értékére van szükségünk. Pontosan körpályán mozgó testnél a centripetális és a gravitációs erő egyenlő:

\begin{matrix} \frac{m_{t} \cdot v^{2}}{r} = \frac{f m_{g} M}{r^{2}}, \end{matrix}

innen:

\begin{matrix} \frac{m_{t}}{m_{g}} = \frac{f M}{v^{2} r} . \end{matrix}

Az űrhajónál

\frac{m_{t ü}}{m_{g ü}} = \frac{f M}{v^{2} r}

, a fényképezőgépnél

\frac{m_{t}}{m_{g}} = \frac{f M}{{(v - Δ v)}^{2} r}

. Közelítő pontossággal úgy vesszük, hogy a fényképezőgép is körpályán mozog, sebessége

Δ v

-vel kevesebb, mint az űrhajó sebessége. Most azt számítjuk, mennyiben tér el a fényképezőgép

m_{t} / m_{g}

-je az űrhajó

m_{t ü} / m_{g ü}

-jétől:

\begin{matrix} \frac{m_{t}}{m_{g}} : \frac{m_{t ü}}{m_{g ü}} = \frac{f M}{v^{2} r} : \frac{f M}{{(v - Δ v)}^{2} r} = \frac{{(v - Δ v)}^{2}}{v^{2}} = {(1 - \frac{Δ v}{v})}^{2} = 1 - 2 \cdot \frac{Δ v}{v} + {(\frac{Δ v}{v})}^{2} . \end{matrix}

Tehát a kétféle tömeg arányának hibája a viszonylagos sebesség-eltérés kétszerese. A négyzetes tag olyan kicsiny, hogy elhanyagolható.
Az űrhajó sebessége

v = 2 π r / T

, az űrhajó és a fényképezőgép sebességének különbsége

Δ v = \frac{2 π r}{T} - \frac{2 π r - 1}{T} = \frac{1}{T}

. A sebesség viszonylagos eltérése

\frac{Δ v}{v} = \frac{1}{T} : \frac{2 π r}{T} = \frac{1}{2 π r}

. Eszerint a kétféle tömeg arányának eltérése 1-től:

\begin{matrix} 2 \cdot \frac{Δ v}{v} = \frac{1}{π r} = \frac{1}{3, 14 \cdot 6, 6 \cdot 10^{8}} = 4, 8 \cdot 10^{- 10} = 4, 8 \cdot 10^{- 8} % . \end{matrix}

Sólyom Ilona (Bp., Veres Pálné lg. IV. o. t.)

Megjegyzés. A kísérlet a zavaró körülmények folytán aligha hajtható végre mint tudományos mérőkísérlet. A torziós ingával végzett legpontosabb kísérletek a következő pontossággal igazolták a tehetetlen ás a súlyos tömeg arányosságát: Eötvös Loránd, 1909-ben,

5 \cdot 10^{- 9} = 5 \cdot 10^{- 7} %

, Renner János 1935-ben,

5 \cdot 10^{- 10} = 5 \cdot 10^{- 8} %

; R. H. Dicke Princetonban 1961-ben

1 \cdot 10^{- 10} = 1 \cdot 10^{- 8} %