Kezdőlap


Feladat:	293. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Corradi Gábor , Kugler Katalin , Mészáros György , Szentai Judit
Füzet:	1963/március, 185 - 187. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenesvonalú mozgás lejtőn, Pontrendszerek mozgásegyenletei, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1962/november: 293. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyen indításkor $\begin{matrix} A M = p & (= 9, 25 m) \\ B N = q & (= 2, 75 m) . \end{matrix}$
A rendszert mozgató erő $P = g \cdot sin α (m_{B} - m_{A})$ ,
gyorsulása $a = P / (m_{B} + m_{A}) = g \cdot sin α (m_{B} - m_{A}) : (m_{B} + m_{A}) .$
$t = 3 sec$ alatt az egész rendszer elmozdulása

\begin{matrix} s = t^{2} / 2 \cdot g \cdot sin α (m_{B} - m_{A}) : (m_{B} + m_{A}) . \end{matrix}

Az elszakadás pillanatában

\begin{matrix} A M = p + s, \\ B N = q - s, \end{matrix}

és sebességük mértékszáma:

v_{0} = a \cdot t

Az elszakadás pillanatától kezdve a testek kezdősebességes gyorsuló mozgást végeznek.

B

lefelé,

A

először felfelé, de megfordulása után az energiatétel szerint ugyanolyan értékű sebességgel fog az elszakadás pillanatában elfoglalt helyén keresztülhaladni.
A végsebességet az idő kiküszöbölésével az

\begin{matrix} s = (v + v_{0}) \cdot t / 2 és az \\ a = (v - v_{0}) / t \end{matrix}

összefüggésekből határozzuk meg:

\begin{matrix} v_{t} = \sqrt[]{{2 a s + v_{0}}^{2} .} (a = g \cdot sin α) . \end{matrix}

Tehát

B

sebessége az

N

pontban

\begin{matrix} v_{B N} = \sqrt[]{2 g \cdot sin α [q - t^{2} / 2 \cdot g \cdot sin α (\frac{m_{B} - m_{A}}{m_{B} + m_{A}})] + {[t \cdot g \cdot sin α \cdot (\frac{m_{B} - m_{A}}{m_{B} + m_{A}})]}^{2}}, \end{matrix}

és

A

sebessége az

M

pontban

\begin{matrix} v_{A M} = \sqrt[]{{2 g \cdot sin α [p + t^{2} / 2 \cdot g \cdot sin α \cdot (\frac{m_{B} - m_{A}}{m_{B} + m_{A}})]}^{2} + {[t \cdot g \cdot sin α \cdot (\frac{m_{B} - m_{A}}{m_{B} + m_{A}})]}^{2} .} \end{matrix}

A számadatok behelyettesítésével kapjuk, hogy

\begin{matrix} v_{B N} = 3, 29 m/sec, v_{A M} = 4, 63 m/sec . \end{matrix}

Mészáros György (Bp., Piarista g. III. o. t.)

II. megoldás. A mozgás kezdetén

m_{A}

helyzeti energiája:

m_{A} \cdot g \cdot p \cdot sin α

m_{B}

helyzeti energiája:

m_{B} \cdot g \cdot q \cdot sin α

,
mozgási energiájuk nincs.

A mozgás során

m_{B}

veszít energiájából

m_{A}

javára.

A rendszer gyorsulása:

a = g \cdot sin α

t = 3 sec

alatt a lejtőn megtett út:

s = a \cdot t^{2} / 2

m_{B}

magasságcsökkenése ill.

m_{A}

emelkedése:

h = s \cdot sin α

,

sebességük:

v_{0} = a \cdot t

.

Az elszakadás pillanatában

m_{A}

összes energiája:

\begin{matrix} m_{A} \cdot g \cdot p \cdot sin α + [\frac{1}{2} \cdot g \cdot sin α \frac{m_{B} - m_{A}}{m_{B} + m_{A}} \cdot t^{2}] sin α + \end{matrix}

(

E_{h}

)

\begin{matrix} + \frac{1}{2} {[t \cdot g \cdot sin α \frac{m_{B} - m_{A}}{m_{B} + m_{A}}]}^{2} \cdot m_{A}, \end{matrix}

(

E_{m}

)

m_{B}

összes energiája

\begin{matrix} m_{B} \cdot g \cdot q \cdot sin α - [\frac{1}{2} \cdot g \cdot sin α \frac{m_{B} - m_{A}}{m_{B} + m_{A}} \cdot t^{2}] sin α + \end{matrix}

(

E_{h}

)

\begin{matrix} + \frac{1}{2} [t \cdot g \cdot sin α \frac{m_{B} - m_{A}}{m_{B} + m_{A}}] m_{B} . \end{matrix}

(

E_{m}

)

A lejtő alján

m_{A}

-nak és

m_{B}

-nek csak mozgási energiája van. Az energiatételből következik, hogy

\begin{matrix} \frac{1}{2} m_{A} v^{2}_{A M} = m_{A} \cdot g \cdot sin α [p + \frac{1}{2} \frac{m_{B} - m_{A}}{m_{B} + m_{A}} \cdot t^{2} \cdot sin α] + m_{A} \cdot \frac{1}{2} \cdot {[g \cdot sin α \cdot t \cdot \frac{m_{B} - m_{A}}{m_{B} + m_{A}}]}^{2} . \end{matrix}

Ebből

\begin{matrix} v_{A M} = \sqrt[]{2 g \cdot sin α [p + \frac{1}{2} t^{2} \cdot g \cdot sin α \frac{m_{B} - m_{A}}{m_{B} + m_{A}}] + {[t \cdot g \cdot sin α \frac{m_{B} - m_{A}}{m_{B} + m_{A}}]}^{2},} \end{matrix}

Hasonlóan

\begin{matrix} v_{B N} = \sqrt[]{2 g \cdot sin α [q - \frac{1}{2} t^{2} \cdot g \cdot sin α \frac{m_{B} - m_{A}}{m_{B} + m_{A}}] + {[t \cdot g \cdot sin α \frac{m_{B} - m_{A}}{m_{B} + m_{A}}]}^{2} .} \end{matrix}

Kugler Katalin (Bp., Apáczai Csere J. g. III. o. t.)