Kezdőlap


Feladat:	292. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Mészáros György
Füzet:	1963/március, 184 - 185. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Úszás-stabilitás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1962/november: 292. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mindenekelőtt a következőket állapíthatjuk meg:
Mivel a kettőskúp fajsúlya nagyobb az olajénál, a test az olajszint alatt belemerül a vízbe is. A kettőskúp tengelye függőleges helyzetet vesz fel, mivel alapkörének átmérője sokszorosa a magasságának.
$\begin{matrix} Legyen kúp alapkörének sugara & R, \\ a test teljes magassága & M, \\ a vízből kiálló része & h, \\ a vízfelszin által kimetszett kör sugara & T, \\ a kúp félnyílásszöge & α. \end{matrix}$
Nyilván

\begin{matrix} R = \frac{M}{2} tg α, T = h tg α . \end{matrix}

Legyen a kettőskúp vízbe merülő részének térfogata

V_{v}

, az olajba merülőé

V_{o}

Archimédesz törvénye szerint

\begin{matrix} V_{0} γ_{0} + V_{v} γ_{v} = (V_{0} + V_{v}) γ_{t} írható \\ itt V_{0} + V_{v} = \frac{M \cdot R^{2} π}{3} = \frac{M^{3}}{12} π {tg}^{2} α, és V_{0} = \frac{h \cdot r^{2} \cdot π}{3} = \frac{h^{3}}{3} π {tg}^{2} α . \end{matrix}

E képleteket az előbbi egyenletbe írva:

\begin{matrix} \frac{h^{3} {tg}^{2} α π}{3} γ_{0} + \frac{\frac{M^{3}}{4} π {tg}^{2} α - h^{3} π {tg}^{2} α}{3} γ_{v} = \frac{M^{3}}{12} π {tg}^{2} α \cdot γ_{t} . \end{matrix}

Egyszerűsítés után:

\begin{matrix} h^{3} (γ_{0} - γ_{v}) = \frac{M^{3}}{4} (γ_{t} - γ_{v}), azaz \\ h = M \cdot \sqrt[3]{\frac{γ_{v} - γ_{t}}{4 (γ_{v} - γ_{0})}} . \end{matrix}

Behelyettesítve az adott értékeket

h = 2

12 cm

adódik. Azaz a kettőskúp úgy úszik, hogy nagyobb része a vízben van, az olajban levő csúcsa a vízfelszín felett

2, 12 cm

-re helyezkedik el.
A fent tárgyalt esetben a kettőskúp helyzetének stabil voltát az biztosította, hogy súlypontja épp a tárgyalt esetben volt legmélyebb helyzetben.
Megváltozik a helyzet, ha a kúp nem merül legalább félig a vízbe. Ez esetben már nem a tárgyalt helyzet lesz a legstabilabb, hanem az, melynél a kettőskúp tengelye vízszintes helyzetű.

Mészáros György (Bp., Piarista g. III. o. t.)