Kezdőlap


Feladat:	290. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bor P. , Gosztonyi László , Harkányi Edit , Kiss Péter , Patkós András , Pelikán József , Szentai Judit , Vadász István
Füzet:	1963/március, 182 - 184. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Erők forgatónyomatéka, Erőrendszer eredője, Súrlódási határszög, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1962/november: 290. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a létra $G_{1}$ súlyának (amely a létra felében támad) és az ember $G_{2}$ súlyának eredője $G$ . Ennek nagysága $15 + 75 = 90 kp$ , támadásvonalát pedig a párhuzamos erők összegezésének ismert eljárásával határozhatjuk meg: kell, hogy $P R : S R = G_{1} : G_{2} = 1 : 5$ legyen. A súrlódási együttható $0, 4$ , azt jelenti, hogy pl. a padló által a létrára gyakorolt $P$ erő $P_{S}$ vízszintes és $P_{N}$ függőleges (azaz súrlódási és nyomó) komponenseire: $∣ P_{S} ∣ ≦ 0, 4 ≦ ∣ P_{N} ∣$ . Tehát a $P$ erő hatásvonala a padlóra állított merőlegessel nem zárhat be nagyobb szöget, mint az az $α$ hegyesszög, amelyre $tg α = 0, 4$ . Azaz $P$ -nek az ábrán látható $2 α$ nagyságú szögtartományon belül kell haladnia. Hasonló igaz a fal által a létrára gyakorolt $P'$ erőre is.

Az egyensúly feltétele az, hogy

P

és

P'

erők

Q

eredője

G

erő hatásvonalába essék, és azzal ellentétes irányú és egyenlő nagyságú legyen. Látható, hogy

P

és

P'

hatásvonalainak

T

metszéspontja csak a két szögtartomány közös (az ábrán vonalkázott) részén belül lehet. Másrészt bárhol is van

T

e tartományon belül, mindig kielégíthető az a feltétel, hogy

Q

függőleges legyen, hiszen csak az kell, hogy

P_{N} = P_{S}

teljesüljön. Másrészt, ha ez teljesül, és az összes erőkomponenseket arányosan változtatjuk,

∣ Q ∣

minden érléket felvehet, így a

∣ G ∣

értékét is.
Ezek alapján a keresett maximumot akkor kapjuk, amikor

T

a lehető legközelebb van a falhoz, azaz

T

X

pontban van. A fentiek szerint ekkor is kielégíthetők az egyensúlyi feltételek.
Meghatározandó tehát az

\bar{A D}

távolság. Felírhatjuk a következő összefüggést:

\begin{matrix} \bar{D E} + \bar{E X} = \bar{D X}, \end{matrix}

ahol

\begin{matrix} \bar{D E} = \bar{C B} = 5 sin 60^{\circ} = 4, 33 m, \end{matrix}

\begin{matrix} \bar{E X} = \bar{B E} \cdot t g α = 0, 4 \cdot \bar{B E} = 0, 4 \cdot \bar{C D} = 0, 4 \cdot (\bar{C A} - \bar{A D}) = 0, 4 \cdot (5 cos 60^{\circ} - \bar{A D}) = (1 - 0, 4 A D) m, \end{matrix}

\begin{matrix} v é g ü l \end{matrix}

DX¯=AD¯⋅ctgα=10,4⋅AD=2,5⋅AD¯.

\begin{matrix} T e h á t b e h e l y e t t e s í t v e : \end{matrix}

4,33+1-0,4⋅AD¯=2,5⋅AD¯,ahonnanAD¯=5,33 m2,9=1,838 m.

\begin{matrix} Ekkor & {\bar{A R}}_{max} = 1, 838 / cos α = 3, 676 m, így \\ \bar{R S} = 3, 676 - 2, 5 = 1, 176 m és \bar{P R} = \bar{R E} / 5 = 0, 235 m, ezért \end{matrix}

\begin{matrix} \bar{A P} = \bar{A R} = \bar{P R} = 3, 676 + 0, 235 = 3, 911 m . \end{matrix}

Mivelafoktávolságalétrán0,25 m,és3,911/0,25=15,644,ezértazembera15.fokigmehet.

Kiss Péter (Szeged, Ságvári E. gyak. g. II. o. t.) dolgozata alapján.

Megjegyzés: Ha az általános egyensúlyi egyenletek alapján nézzük a megoldást, a következő összefüggésekből kell kiindulnunk:
1. A létrára ható összes erő összege 0. Ezt a függőleges és a vízszintes komponensekre felírva (minden komponenst az ábrán szereplő irányítással tekintve pozitívnak):

\begin{matrix} G + P'_{S} - P_{N} = 0, \\ P_{S} - P'_{N} = 0. \end{matrix}

2. A forgatónyomatékok összege zérus. Legyen a vonatkoztatási pont pl.

C

(AC¯-x)G+BC¯⋅P'N-AC¯⋅PN=0.

\begin{matrix} Ezenkívül kielégítendők még a ∣ P_{S} ∣ ≦ 0, 4 P_{N} és ∣ P_{S} ∣ ≦ 0, 4 \cdot P'_{N} feltételek. Látható, hogy az 1., 2. pont alatti három egyenlet a 4 ismeretlen erőkomponenst nem határozza meg egyértelműen: csak az arányaikat adja meg. Tehát a feladat statikailag határozatlan. Az egyenlőtlenségek figyelembevételével az egyenletek viszonylag egyszerűen úgy kezelhetők, hogy az egyenlőtlenségeket az egyenletekbe helyettesítve vizsgáljuk: milyen egyenlőtlenséget kapunk x -re.  Azonban a megoldás így is lényegesen hosszabb a fentinél. \end{matrix}