Feladat:	284. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bor Edit ,  Durst József
Füzet:	1963/március, 177 - 179. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Egyéb nyújtás, összenyomás, Összetartó erők eredője, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1962/október: 284. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.     I. megoldás. A deformálatlan hosszabb rúd hossza legyen $a$, a rövidebbé $b$. Összeszerelés után az $a$ hosszúságú rudak megrövidülnek $\Delta a$-val, a $b$ hosszúságú rudak megnyúlnak $\Delta b$-vel, s a rudakban rugalmas erőhatások ébrednek. A szimmetria miatt a megfelelő elhelyezkedésű erővektorok egyenlőek. Egy csuklópontra ható erők egyensúlyban vannak, ezért: $\begin{array}{c}{\displaystyle B=A\cdot \sqrt[]{3}\mathrm{.}}\end{array}$ (1) A rudakra alkalmazva a rugalmas megnyúlás képletét: $\begin{array}{c}{\displaystyle B=E\cdot q\cdot \frac{\Delta b}{b}\mathrm{,}\text{és}A=E\cdot q\cdot \frac{\Delta a}{a}\mathrm{,}}\end{array}$ (2) és (3) ahol $q$ a keresztmetszet területe, $E$ az anyag rugalmassági modulusa. A szabályos háromszög súlypontjának a csúcstól való távolsága $\sqrt[]{3}$-ad része az oldalnak, ezért: $\begin{array}{c}{\displaystyle a-\Delta a=\sqrt[]{3}\left(b+\Delta b\right)\mathrm{.}}\end{array}$ (4)     Mivel $b$ egy ezrelékkel rövidebbre készült, mint kellett volna, azért: $\begin{array}{c}{\displaystyle b=\frac{a}{\sqrt[]{3}}-0\mathrm{,}001\cdot \frac{a}{\sqrt[]{3}}=0\mathrm{,}999\frac{a}{\sqrt[]{3}}\mathrm{,}}\end{array}$ (5) A kapott 5 egyenletben $a$-t ismertnek vehetjük, kiszámítva $\Delta a$-t: $\begin{array}{c}{\displaystyle \Delta a=\frac{a}{1000}\cdot \frac{1}{1+0\mathrm{,}999\cdot \sqrt[]{3}}\approx \frac{a}{1000}\cdot 0\mathrm{,}366.}\end{array}$ A háromszög oldalai tehát $0\mathrm{,}366$ ezrelékkel lesznek kisebbek. Bor Edit (Szeged, Ságvári E. g. IV. o. t.)   II. megoldás. Legyen a kisebb rúd tervezett hossza egy egység, így a hosszabb nyugalmi hossza $\sqrt[]{3}$, és a rövidebb nyugalmi hossza $\left(1-0\mathrm{,}001\right)$. Ha a kisebbek $x$-szel nyúlnak meg, a nagyobbak is ugyanennyivel rövidülnek, ugyanis $\sqrt[]{3}$-ad akkora erő $\sqrt[]{3}$-szor akkora hosszon ugyanazt a hosszváltozást eredményezi. Figyelembe véve a megnyúlások ábráját: $\begin{array}{c}{\displaystyle x+\frac{x}{\sqrt[]{3}}=0\mathrm{,}001.}\end{array}$ Ebből $x$-et kiszámítva, a $\sqrt[]{3}$ hosszú rudak relatív összehúzódása $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{x}{\sqrt[]{3}}=0\mathrm{,}001\frac{1}{1+\sqrt[]{3}}\approx 0\mathrm{,}0366\%\mathrm{.}}\end{array}$ Durst József (Szolnok, Verseghy g. IV. o. t.)   Megjegyzések: A feladat szövege nem említi (de minden megoldó természetesnek vette), hogy a háromszög szabályos, és a belső pont a súlypont. Néhányan említik, hogy a megoldás csak akkor igaz, ha a hosszabb rudak nem hajlanak ki. Valóban, ez hosszú vékony nyomott rudaknál előfordulhat, ha a rúd nem teljesen egyenletes. A feladat szövegében nem szerepel (de természetes), hogy a rudak ugyanazon anyagból vannak. Nem mindegy, hogy milyen anyagból! (A feladat végeredményéből látszik, hogy elég nagy relatív hosszváltozások következnek be. Jó acél anyagú rudak még ilyen körülmények közt is követik a rugalmas alakváltozás törvényét, öntöttvas anyagok azonban már nem.) Lényeges említeni, hogy a feladat megoldása csak a rugalmas alakváltozás törvényét követő anyagokra érvényes. ‐ A feladat ,,statikailag határozatlan''. (L. a KML XXV. kötet 2. számban szereplő cikket.) Ez felismerhető abból, hogy a szerkezet csak erőhatással szerelhető össze, és a megoldásnál a rugalmas alakváltozásokat is figyelembe kellett venni. A II. megoldás a rövidebb rúd hosszát kis elhanyagolással veszi figyelembe, mert a terheletlen rudak $0\mathrm{,}999:\sqrt[]{3}$ hosszaránya helyett $1:\sqrt[]{3}$ arány szerepel. Ez az elhanyagolás a végeredményt alig befolyásolja (csak a ki nem irt jegyekben van különbség), tehát ha nem kívánunk pontosabb eredményt, akkor az elhanyagolás jogos. A statikában és a szilárdságtanban ilyen elhanyagolás megszokott dolog. Általánosabban fogalmazva: ha a rudak relatív hosszváltozását (%-os értékeket) számítjuk, akkor a rudak teljes hosszának figyelembe vételénél számolhatunk akár a tervezett, akár a terheletlen, akár a terhelt rúd hosszával. Az ilyen elhanyagolást a megoldások elbírálásánál sem vettük hibának. Az értékelés alapja a következő volt: helyes 4 pont. A kiinduló alapösszefüggések helyesek, de számítási hiba van 3 pont. A megoldás elképzelése helyes, de már a kiinduló alapösszefüggések felírásában hiba van (geometriai vagy fizikai): 2 pont. A megoldás elképzelése is hibás: 0 pont. Érdemes megjegyezni, hogy a 2 pontot szerzett megoldók felének hibája abból származik, hogy a (3) képletbe $2A$ erőt helyettesít, azon az alapon, hogy a rúd mindkét végén szerepel $A$ erő. A rugalmas hosszváltozás képletében azonban csak az egyik végen ható erőt kell szerepeltetni! A rúd másik végén természetesen minden esetben kell ébrednie erőnek, különben a rúd nem maradhatna nyugalomban. A rövidebb rudaknak is mindkét végén ébred erő.