Kezdőlap


Feladat:	278. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bodonhelyi Márta , Gosztonyi László , Harkányi Edit , Ordódy Márton , Vadász István
Füzet:	1963/március, 172 - 174. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Erők forgatónyomatéka, Erőrendszer eredője, Lejtő, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1962/október: 278. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Ha egy test egyensúlyban van, akkor a rá ható erők forgatónyomatékainak algebrai összege bármely tengelyre vonatkoztatva zérus. Az első esetben a hengerre négy erő hat: a súlyerő, a fonál húzóereje, a lejtő reakcióereje és a súrlódási erő. Az utóbbi két erő nem is érdekel bennünket, ezért olyan tengelyt választunk amelyre e két erő forgatónyomatéka 0. Ez a tengely a két erő hatásvonalának metszéspontján halad át ( $A$ pont). Erre a tengelyre a forgatónyomatékok összege:

\begin{matrix} G R sin α - P R (1 + cos α) = 0. \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} P = G \frac{sin α}{1 + cos α} = 2, 88 kp . \end{matrix}

Miután ismerjük a

P

fonálerőt, könnyen meghatározhatjuk a súrlódási erőt. Ejtsük ki a másik két erőt a tengely alkalmas megválasztásával! A súlyerő és a reakcióerő hatásvonalai a henger szimmetriatengelyén metszik egymást; válasszuk most ezt tengelynek! A forgatónyomatékok összege:

P_{s} R - P R = 0

, tehát a surlódó erő maximuma legalább

\begin{matrix} P_{s} = P = G \frac{sin α}{1 + cos α} = 2, 88 kp \end{matrix}

kell, hogy legyen.

Ha a fonálerő a középpontban hat, akkor a megoldás menete azonos. Mivel

P'

karja ekkor csak

R cos α

(

A

-ra vonatkoztatva), ezért ekkor

\begin{matrix} P' = G \end{matrix}

Mivel

C

-re vonatkoztatva a súlyerő, a reakcióerő és a középpontban ható fonálerő forgatónyomatéka 0, és a henger mégis egyensúlyban van, kell, hogy ekkor a súrlódási erő forgatónyomatéka is 0 legyen. Mivel ennek véges (

R

hosszúságú) karja van, a súrlódási erő 0.
Megfordítva: Ha a lejtő abszolút sima, akkor a súrlódási erő 0. Ha a súrlódási erő 0, akkor forgatónyomatéka is 0. A

C

pontra nézve a súlyerőnek és a lejtő reakcióerejének forgatónyomatéka 0. Ha a fonálerő nem 0, tekintettel arra, hogy forgatónyomatéka 0, nyilván a karja 0, tehát a fonálerő hatásvonala átmegy a henger tengelyén.
Még mást is mondhatunk az erő hatásvonaláról. Merőlegesnek is kell lennie a henger tengelyére. Ha nem így volna, lenne a tengellyel párhuzamos összetevője, melyet ‐ nem lévén súrlódási erő ‐ semmi sem tudná ellensúlyozni, a test tehát nem lehetne nyugalomban.
Még egy megszorítást tudunk mondani a fonálerő irányított hatásvonalára, éspedig azt, hogy csak az ábrán két ívvel jelölt szögtartományban lehet. A súrlódás nélkül nyugalomban levő testre ható három erő eredője 0, vagyis a fonálerő a súlyerő és a reakcióerő ellentettjeinek összege. Ezek az utóbbi vektorok jelölik ki az említett szögtartományt.

\begin{matrix} Bodonhelyi Márta(Bp., Móra F. g. II. o. t.) és \\ Vadász István(Bp., Radnóti M. g. II. o. t.) \\ dolgozata alapján. \end{matrix}

II. megoldás. A hengert három erő tartja egyensúlyban: a súlya, a fonálerő és e két erő ellenereje. Ez utóbbi erő a lejtő reakcióerejéből és a súrlódásból tevődik össze, de ezt egyelőre figyelmen kívül hagyjuk. Ha e három erő hatásvonala nem egy ponton menne át, akkor pl. bármely két hatásvonal metszéspontján átmenő tengelyre nézve a harmadik erőnek nem zérus forgatónyomatéka volna, a henger tehát nem lehetne egyensúlyban. Így a

P_{e}

ellenerő hatásvonala is áthalad a másik két erő hatásvonalának metszéspontján, az

F

ponton. Szerkesszük meg a vektorparalelogrammát! A

B F D

szög nyilván

\frac{α}{2}

, így könnyen megkapjuk

P

-t:

\begin{matrix} P = G \end{matrix}

P_{e}

erő lejtővel párhuzamos összetevője a súrlódási erő. Vegyük észre, hogy az

A E H

háromszög egybevágó az

F B D

háromszöggel, tehát a súrlódási erő:

P_{s} = P

. Egyben azt is megkaptuk, hogy a henger mindig

G

súlyával egyenlő erővel nyomja a lejtőt.

Ha az erő a középpontban hat, az eljárás hasonló. Az ábráról világos, hogy ekkor

P' = G