Feladat: 274. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Mihályi Zoltán 
Füzet: 1963/február, 91 - 92. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Egyenesvonalú mozgás lejtőn, Tökéletesen rugalmas ütközések, Feladat, Egyéb egyenletesen változó mozgás
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1962/szeptember: 274. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A lejtő α=30∘-os hajlása miatt a két test olyan egyenletesen változó mozgásban vesz részt, amelynek gyorsulása a lejtés irányába mutat, és nagysága a=gsinα=g/2=4,905m/sec2.
Ütközéskor, ‐ egyenlő tömegek rugalmas centrális ütközéséről lévén szó ‐ a két test sebességet cserél. Ha pontszerűeknek tekintjük őket, akkor helyzetük is azonos, tehát a két test teljes mozgásállapotát kicseréli. Ez gyakorlatilag annyit jelent, hogy ha meghatározzuk a két test egymástól független szabad pályáját, akkor az ütközést elegendő úgy figyelembe venni, hogy ütközés után a két pályát ‐ tehát az összes helyi és sebességadatot ‐ kicseréljük.
A két test szabad mozgásának kiszámításánál az egyenletesen változó mozgás alábbi összefüggéseit használjuk fel:

s=12at2,(1)v=at,(2)v=2as.(3)

Itt 0 a kezdő-, v a végsebesség (vagy fordítva), s a megtett út t idő alatt.
A felülről indított test (A) (3) szerint 40⋅9,81=200,981=19,81 m/sec sebességgel érkezne a lejtő aljára az (1)-ből meghatározható 80/4,905=4/0,981=4,038 sec alatt.
Az alulról indított testnek (B) adott a kezdősebessége (15 m/sec) tehát (2)-ből meghatározhatóan a megadott lassulással 15/4,905=3/0,981=3,058 sec múlva áll meg a lejtő aljától (3) alapján számított
152(2⋅4,905)=22,5/0,981=22,935 m távolságban, tehát nem éri el a lejtő tetejét. Megállás után a test megindul lefelé. Nyilvánvaló, hogy a lefelé mozgás adatai megegyeznek a felfelé mozgás megfelelő adataival, tehát ideje 3,058 sec, a végsebesség 15 m-sec.
Még meghatározzuk, hogy mikor történik ütközés, és eszerint mely pálya-adatokat kell a másik testnek tulajdonítanunk, mint amelyre kiszámítottuk.
Mindkét test gyorsulása azonos. Gyorsuláskülönbség a két test között nem lévén, a két test egymáshoz viszonyított sebessége a mozgás folyamán állandó. Az adott kezdősebességek alapján ez a sebességkülönbség 15 m/sec közeledés. Ismerve a kezdő távolságot is, a találkozás ideje meghatározható: 40/15=8/3=2,667 sec. Ekkor az (A) test (2) szerint 4,905⋅8/3=0,981⋅40/3=13,08 m/sec-mal mozog lefelé, míg a (B) test 15-13,08=1,92 m/sec sebességgel felfelé. Az ütközés helye (1) szerint 0,5⋅4,905⋅(8/3)2=0,981⋅160/9=17,44 m.
Előzetes megállapításunk értelmében valamennyi ütközés utáni adat gazdát cserél, így a lejtő aljára érkezés, valamint a lejtőn való megállás adatai.
Foglaljuk táblázatba eredményeinket. 0 pontnak a lejtő felső pontját választjuk, pozitív iránynak a lejtés irányát. A *-gal jelzett adatokat csak a teljesség kedvéért tüntettük fel, számításuk sem jelent semmiféle nehézséget.
 

IdőHely  Sebesség (m/sec)Indítás(sec)ABAB00400-15Ütközéselőtt2,66717,4417,4413,08-1,92után-1,9213,08A  megállása3,05817,06522,935*015*B  leérkezése4,03819,43*404,81*19,81A  leérkezése6,11640-15-   

 
 Mihályi Zoltán (Bp., Rákóczi F. g. IV. o. t.)
 dolgozata alapján