Kezdőlap


Feladat:	273. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Fazekas Patrik , Kelényi Ferenc , Kulin Gy. , Máthé I.
Füzet:	1963/február, 90 - 91. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Newton-féle gravitációs erő, Helyzeti energia inhomogén gravitációs mezőben, Szinkron-műhold (szinkronpálya), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1962/szeptember: 273. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A műhold körpályán tartásához szükséges centipetális erőt a Föld vonzóereje biztosítja:

\begin{matrix} m r ω^{2} = f \frac{m M}{r^{2}}, \end{matrix}

(1)

ahol

r

a körpálya sugara,

ω

a szögsebesség,

m

a műhold,

M

a Föld tömege,

f

a gravitációs állandó.
(1)-ből

m

-mel való egyszerűsítés után

\begin{matrix} r = \sqrt[3]{\frac{f M}{ω^{2}}} . \end{matrix}

(2)

A Föld felszínén lévő testre ható vonzóerő

\begin{matrix} m g = f \frac{m M}{R^{2}}, \end{matrix}

(3)

ahol

R

a földsugár,

g

a földfelszínen mért nehézségi gyorsulás. (3)-ból

f M = g R^{2}

. Ezt és a keringési időt (2)-be bevezetve (

ω = 2 π / T

)

\begin{matrix} r = \sqrt[3]{\frac{g R^{2} T^{2}}{4 π^{2}}} \end{matrix}

(4)

A keringési sebesség

\begin{matrix} v = r ω = \frac{2 π}{T} r . \end{matrix}

(5)

A fellövéshez szükséges helyzeti energia az idézett cikk szerint

\begin{matrix} E_{h} = f M m (\frac{1}{R} - \frac{1}{r}) = g R^{2} m (\frac{1}{R} - \frac{1}{r}), \end{matrix}

ahova behelyettesítettük a fenti

f M = g R^{2}

összefüggést. A mesterséges hold

Q = m g

súlyát bevezetve

\begin{matrix} E_{h} = Q R (1 - \frac{R}{r}) . \end{matrix}

A mesterséges hold mozgási energiáját is a kilövéskor kell biztosítani. Ennek nagysága (1)-et és az

f M = g R^{2}

összefüggést felhasználva:

\begin{matrix} E_{m} = \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{r}{2} m r ω^{2} = \frac{r}{2} f \frac{m M}{r^{2}} = \frac{g R^{2} m}{2 r} = \frac{1}{2} Q R \frac{R}{r} . \end{matrix}

Tehát az összenergia

\begin{matrix} E_{h} + E_{m} = Q R (1 - \frac{R}{r} + \frac{1}{2} \frac{R}{r}) = Q R (1 - \frac{1}{2} \frac{R}{r}), \end{matrix}

(6)

amelyből leolvasható, hogy nagy magasságú mesterséges holdak esetén (

R / r ≪ 1

) a kilövéshez szükséges energia már kb. állandónak mondható. (Az energia javarésze a ,,szökéshez'' kell.)

Numerikusan (4), (5) és (6)-ból

g = 9, 81 {m/sec}^{2}

T = 86 400

sec,

R = 6372

km adatokkal

r = 42 300

km ,

v = 3, 07

km/sec,

E_{h} / Q = 5400

mkp/p,

E_{m} / Q = 480

mkp/p.

Kelényi Ferenc (Bp., Piarista g. IV. o. t.) és
Fazekas Patrik (Mosonmagyaróvár, Kossuth g. IV. o. t.)
dolgozatai alapján.