Kezdőlap


Feladat:	256. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Fazekas Patrik , Fejéregyházi Sándor , Mihályi Zoltán , Pálfi György
Füzet:	1962/december, 232 - 233. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb felületi feszültség, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1962/május: 256. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A kísérletek tanúbizonysága szerint az 1. ábrán látható, $3$ ‐ $3$ egyenlőszárú háromszögből és $3$ szimmetrikus trapézból álló hártyafelszín alakul ki, ha a hasáb $M$ magassága az $a$ alapélhez képest elég nagy (pontosabban 1. később).

1. ábra

120^{\circ}

-os lapszögek törvénye megköveteli, hogy ‐ mint a fent említett cikkben szereplő szabályos háromoldalú gúla esetében, itt is

x = a / \sqrt[]{24}

legyen. Másrészt kiszámítjuk a hártyafelületet tetszőleges

x

-nél: egy egyenlőszárú háromszög területe

\begin{matrix} \frac{a}{2} \sqrt[]{x^{2} + {(\frac{a \sqrt[]{3}}{6})}^{2}}, \end{matrix}

egy trapéz területe

\begin{matrix} \frac{M + M - 2 x}{2} \cdot \frac{a \sqrt[]{3}}{3} = (M - x) \frac{a \sqrt[]{3}}{3}, \end{matrix}

s így a teljes felszín:

\begin{matrix} F = 3 a \sqrt[]{x^{2} + a^{2} / 12} - a x \sqrt[]{3} + a M \sqrt[]{3} . \end{matrix}

Ez a függvény a cikk (1) képletében szereplő függvény kétszerese, tehát minimuma szintén

x = a / \sqrt[]{24}

-ben van. Az ilyen hártyafelszín nyilván csak

\begin{matrix} M \geq 2 a / \sqrt[]{24} = a / \sqrt[]{6} \end{matrix}

esetében alakulhat ki, és ez esetben az előbbi meggondolások ‐ figyelembe véve a cikket ‐ érvényesek.

2. ábra

M < a / \sqrt[]{6}

, a kísérlet azt mutatja, hogy a 2. ábrán szereplő hártyafelszín alakul ki egy egyenlőoldalú háromszögből,

3

egyenlőszárú háromszögből és

6

szimmetrikus trapézből. Azonban az egyenlőoldalú háromszög oldalát a

120^{\circ}

-os lapszögek törvénye alapján, majd a minimális felszín feltétele mellett kiszámítva, különböző eredményekre jutunk, ami azt bizonyítja, hogy a valóságban a 2. ábrán láthatóhoz hasonló, kissé görbült felület jön létre.

Fejéregyházi Sándor (Bp., I. István g. III. o. t.) és
Fazekas Patrik (Mosonmagyaróvár, Kossuth g. III. o. t.)
dolgozata alapján

Megjegyzés: A szappanhártya a hasáb felületét egyik esetben sem vonhatja be, mivel a hasáb felszíne nagyobb az előbb említett hártya felszínnél, akár az első esetben

x = a / \sqrt[]{24}

mellett, akár a második esetben a

120^{\circ}

-os lapszögek törvényének engedelmeskedő, szabályos háromszögből, egyenlőszárú háromszögekből, és trapézokból álló hártyafelszín esetében (így még inkább nagyobb a minimális, görbült felületű felszínnél). Mindkét állítás helyességéről kis számolással könnyen meggyőződhetünk.

Mihályi Zoltán (Bp., Rákóczi F. g. III. o. t.)
dolgozata alapján