Feladat:	243. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Fazekas Patrik ,  Márialigeti József ,  Raisz Miklós ,  Strobl Ilona ,  Treer Ferenc
Füzet:	1962/november, 175 - 178. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Pontrendszerek mozgásegyenletei, Munkatétel, energiamegmaradás pontrendszerekre, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1962/április: 243. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.     1. ábra   I. megoldás. Álló helyzetből indulva $s$ út megtétele után $Ps$ munka ‐ a súrlódás elhanyagolásával ‐ a rendszer mozgási energiájává alakul. Abban az esetben szükséges a kisebb erő, melynél $s$ út megtétele után a rendszer mozgási energiája kisebb. Az $s$ út megtétele után az $M$ tömegű test sebessége adott $v=\sqrt[]{2as}$, mozgási energiája tehát mindhárom esetben egyforma. Ezért csak a hengerek mozgási energiáját számítjuk. Ez abban az esetben, ha a henger $u$ sebességgel halad, és $\omega$ szögsebességű forgása is van: $\begin{array}{c}{\displaystyle E=\frac{1}{2}m{u}^2+\frac{1}{2}\cdot \frac{m}{2}{\left(r\omega \right)}^2\mathrm{.}}\end{array}$ A három eset közül $u$ és $\omega$ megállapítása csak (b) esetben bonyolultabb. Ekkor vegyük figyelembe, hogy ha a test $s$ utat tesz meg, akkor a henger fele annyi utat tesz meg, sebessége fele $M$ sebességének. A két henger mozgási energiáját számítva: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cccc}{\displaystyle \text{(a)}u=\mathrm{0,}}\hfill & {\displaystyle \omega =v/r\mathrm{,}}\hfill & {\displaystyle \text{helyettesítve:}}\hfill & {\displaystyle E_a=\frac{1}{2}m{v}^2}\hfill \\ {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle }\hfill \\ {\displaystyle \text{(b)}u=v/\mathrm{2,}}\hfill & {\displaystyle \omega =v/2r\mathrm{,}}\hfill & {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle E_b=\frac{3}{8}m{v}^2}\hfill \\ {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle }\hfill \\ {\displaystyle \text{(c)}u=v\mathrm{,}}\hfill & {\displaystyle \omega =v/r\mathrm{,}}\hfill & {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle E_c=\frac{3}{2}m{v}^2\mathrm{.}}\hfill \end{array}}}\end{array}$ Az energiákból látható, hogy a rendszer gyorsításához a (b) esetben szükséges a legkisebb erő.    Raisz Miklós (Miskolc, Földes F. g. III. o. t.)   Megjegyzés: Ha nem álló helyzetéből, hanem $v_0$ kezdősebességű helyzetéből indul a rendszer, akkor $v$ sebesség eléréséhez az energianövekedés pl. az (a) esetben: $\begin{array}{c}{\displaystyle E_a=\frac{1}{2}m{v}^2-\frac{1}{2}m{v}_0^2=\frac{1}{2}m\left(v^2-v_0^2\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Hasonló átalakítás végezhető a (b) és (c) esetben is. Látható, hogy az energiák aránya ugyanaz, mint előbb.    Strobl Ilona (Bp., Móricz Zs. g. III. o. t.)   II. megoldás. Az idézett cikk módszerét alkalmazva a mozgást helyettesítjük egyetlen tömeg $v$ sebességű mozgásával. Az $m_{\text{red}}$ tömeg az energiák alapján számítható. Pl. az (a) esetben: $\begin{array}{c}{\displaystyle m_{\text{red}}\frac{v^2}{2}=\frac{M{v}^2}{2}+\frac{1}{2}m{v}^2\mathrm{.}}\end{array}$ Egyszerűsítés után: $m_{\text{red}}=M+m$. Hasonló módon a (b) esetben: $m_{\text{red}}=M+\left(3/4\right)\cdot m$, a (c) esetben pedig: $m_{\text{red}}=M+3m$. Ha a rendszer $a$ gyorsulással mozog, a gyorsításhoz szükséges erő: $P=a\cdot m_{\text{red}}$. Legkisebb a (b) esetben.    Márialigeti József (Bp., Piarista g. III. o. t.)     2. ábra   III. megoldás. A ható erők elemzése (a) esetben: Az $m$ tömegű hasáb $a$ gyorsulással halad, ezért a rá ható erők eredője $m\cdot a$ kell, hogy legyen. A hasábra ható erők: $P$, $Mg$ és a hengerek érintkezésénél ébredő erők. Ezek felbonthatók az $Mg$ súlyerővel szemben ébredő $K_1$ és $K_2$ erőre, továbbá a $P_s$ súrlódó erőre. A hasáb a hengereken megcsúszás nélkül gördül. A hengerek szöggyorsulása ezért $\beta =a/r$. $P_s$ erő nagyságát abból az összefüggésből számíthatjuk, hogy egy hengerre ható erők közül a forgástengely körül forgatónyomatékot csak $-P_s$ erő gyakorol. (A hasáb által a hengerre ható erő.) Az $r$ sugáron kifejtett forgatónyomaték: $P_{s}r=I\cdot \beta =\frac{m{r}^2}{2}\cdot \beta$, amiből $\beta$ helyettesítésével és $r$-rel egyszerűsítve: $P_s=\frac{m\cdot a}{2}$. $P_s$ erő nem lehet nagyobb, mint $K_1$ és $K_2$ erők hatása esetén a nyugvó súrlódási tényezővel számított súrlódási erő. Ugyanis a henger és a hasáb megcsúszás nélküli gördülésének ez a feltétele. (Ezt hallgatólagosan az előző megoldásoknál is kihasználtuk. Itt alkalom nyílik a súrlódás szerepének tisztázására. Látható, hogy a megoldásnál szükség van a súrlódó erőkre. Ezek a súrlódó erők azonban nem okoznak energiaveszteséget! Energiaveszteség csak a hengerek tengelyénél keletkezik a csapágyban, ahol a felületek egymáson dörzsölődnek. Ezt a súrlódási energiaveszteséget elhanyagoljuk. A henger és a hasáb érintkezésénél ideális gördülést feltételezve, a felületek egymáshoz képest nyugalomban maradnak, ezért dörzsölésből származó melegfejlődés nincs. Vagyis jogosan mondhatjuk, hogy a súrlódó erőket nem hanyagoljuk el, de a súrlódásból származó energiaveszteségeket elhanyagoljuk.) Visszatérve a henger gyorsításához: $\begin{array}{c}{\displaystyle M\cdot a=P-2P_s\mathrm{,}\text{amiből}P=Ma+ma=\left(M+m\right)a\mathrm{.}}\end{array}$ A ható erők elemzése a (b) esetben: A hasábra ható erők elemzése egyezik az előzővel, csak $P_s$ értéke más. Ezt a hengerre ható erők vizsgálatával számítjuk ki. A henger mindkét érintkezésénél csúszás nélkül gördül. Gyorsulása $a/2$, szöggyorsulása $\beta =a/2r$. A hengerre ható súrlódó erők $P_s$ és $P{\text{'}}_s$. Ha a $P_s$ erőt a henger középvonalába helyezzük, hatása a súlypontban ható $P_s$ nagyságú erővel és egy $P_{s}r$ nagyságú forgatónyomatékkal helyettesíthető. Ugyanígy helyettesítjük a $P{\text{'}}_s$ erőt is. Figyelembe véve a ható erők és nyomatékok irányát, első egyenletünket a súlypontra, másodikat a súlyponton áthaladó tengelyre felírhatjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle m\cdot a/2=P_s-P{\text{'}}_{s}I\cdot \beta =\frac{m{r}^2}{2}\cdot \frac{a}{2r}=P_s\cdot r+P{\text{'}}_s\cdot r\mathrm{.}}\end{array}$ $P_s$ és $P{\text{'}}_s$ a kétismeretlenes egyenletrendszert megoldva: $\begin{array}{c}{\displaystyle P_s=\frac{3}{8}ma\mathrm{,}P{\text{'}}_s=-\frac{1}{8}ma\mathrm{.}}\end{array}$     3. ábra   Az eredményben $P{\text{'}}_s$ negatív értéke arra az érdekes tényre mutat, hogy a talajon ébredő $P{\text{'}}_s$ erő a rajzon felvett erővel ellentétes irányú. $P_s$ értékét a hasáb egyenletébe helyettesítve: $\begin{array}{c}{\displaystyle P=Ma+2P_s=\left(M+\frac{3}{4}m\right)a\mathrm{.}}\end{array}$ (c) esetben az erők elemzése hasonló. Az erőkre nyert kifejezésekből látszik, hogy a (b) esetben szükséges a legkisebb erő.    Fazekas Patrik (Mosonmagyaróvár, Kossuth L. g. III. o. t.)   Általánosítás: Henger alakú görgőre a kerületre redukált tömeg $m_{\text{red}}=m/2$. Ha a görgő nem henger, akkor $m_{\text{red}}$ értéke más lehet. Olyan görgők esetén, melyekre $m_{\text{red}}<m/3$, az (a) eset a legkedvezőbb.    Treer Ferenc (Bp., Szerb‐horvát tanítási nyelvű ált. isk. VIII. o. t.)