Kezdőlap


Feladat:	239. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Antal Magdolna , Hirka András
Füzet:	1962/november, 173 - 174. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenesvonalú mozgás lejtőn, Csúszó súrlódás, Egyéb egyenletesen változó mozgás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1962/április: 239. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A hasáb a nehézségi erő hatására a lejtő fémrészén egyenletesen gyorsul mindaddig, amíg a fára nem ér. Itt gyorsulása ugrásszerűen megváltozik, vagy kisebb, vagy negatív lesz. Vizsgáljuk külön a két esetet általánosságban.
1. A hasáb a lejtő farészén lassul. Ennek feltétele, hogy $α$ hajlásszög esetén

\begin{matrix} a_{2} = g (sin α - γ_{fa} cos α) < 0, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} tg α < γ_{fa} \end{matrix}

legyen. A hasáb a gyorsulással szerzett sebességét a második szakaszon elveszti, azaz

\begin{matrix} \sqrt[]{2 a_{1} l_{1}} = \sqrt[]{2 | a_{2} | l_{2}}, \end{matrix}

ahol

l_{1}

és

l_{2}

a fém-, ill. farész hossza,

a_{1} = g (sin α - γ_{fém} cos α)

a hasáb gyorsulása a fémrészen. Innen

\begin{matrix} l_{1} : l_{2} = | a_{2} | : a_{1}, \end{matrix}

és

l_{1} + l_{2} = l

miatt

\begin{matrix} l_{1} = l \frac{| a_{2} |}{a_{1} + | a_{2} |} . \end{matrix}

A hasáb maximális sebességét a fémrész végpontjában éri el:

\begin{matrix} v_{max} = \sqrt[]{2 a_{1} l_{1}} = \sqrt[]{\frac{2 l a_{1} | a_{2} |}{a_{1} + | a_{2} |}}; \end{matrix}

az út megtételéhez szükséges idő:

\begin{matrix} t = \frac{2 \cdot l}{v_{max}} = \sqrt[]{\frac{2 l (a_{1} + | a_{2} |)}{a_{1} \cdot | a_{2} |}} . \end{matrix}

2. A hasáb a fából készült szakaszon tovább gyorsul, ill. egyenletes sebességgel halad. Ez az

a_{2} ≧ 0

esetben következik be. Nyilvánvaló, hogy ekkor a hasáb a lejtő végén nem állhat meg. Mivel a hasáb a lejtő egész hosszában gyorsuló mozgást végez, maximális sebességét a lejtő alján éri el:

\begin{matrix} v_{max} = \sqrt[]{2 a_{1} l_{1}} + \sqrt[]{2 a_{2} l_{2}} . \end{matrix}

A teljes út megtételéhez szükséges idő:

\begin{matrix} t = \sqrt[]{\frac{2 l_{2}}{a_{1}}} + t_{2}, \end{matrix}

ahol

t_{2}

a farész befutásához szükséges idő, amely az alábbi egyenletből határozható meg:

\begin{matrix} \frac{a_{2}}{2} t_{2}^{2} + v_{1} t_{2} = l_{2}, \end{matrix}

itt

v_{1}

jelenti a hasáb sebességét a fémrész végén.
A numerikus adatok szerint

a_{2} > 0

, vagyis a 2. esetről van szó. A hasáb gyorsulása a fémen ill. a fán:

\begin{matrix} a_{1} = 3, 59 {m/sec}^{2}, a_{2} = 0, 25 {m/sec}^{2} . \end{matrix}

Antal Magdolna (Bp., Varga K. lg. II. o. t.)
dolgozata alapján

Megjegyzés: A lejtő fém- és farészét egy‐egy súrlódásmentes

α_{1}

, ill.

α_{2}

hajlásszögű lejtővel helyettesíthetjük, ahol

\begin{matrix} α_{1} = α - arc tg γ_{fém} α_{2} = α - arc tg γ_{fa}, \end{matrix}

α_{2}

előjele szabja meg, hogy a második lejtő a vízszintessel milyen szöget zár be. Ily módon a feladat egyszerűbben tárgyalható.

Hirka András (Pannonhalma, Bencés g. II. o. t.)