Feladat:	574. fizika gyakorlat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Lipták László
Füzet:	1983/november, 171 - 173. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Stefan--Boltzmann-törvény, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1983/április: 574. fizika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Jelöljük $A$, ill. $B$ indexszel az $A$, ill. $B$ lámpára vonatkozó adatokat! Kapcsoljunk az $A$ izzóra $U$ feszültséget! Ekkor az izzószál teljesítményére felírhatjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{U^2}{R_{A\mathrm{,}{T}_A}}=K_{T_A}{f}_A\mathrm{,}}\end{array}$ ahol $R_{A\mathrm{,}{T}_A}$, az $A$ izzószál ellenállása a $T_A$ hőmérsékleten, $f_A$ az izzószál felszíne, $K_{T_A}$, pedig a felületegységenként kisugárzott teljesítmény, amely a $T_A$ hőmérséklet függvénye. Tudjuk továbbá, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle R_{A\mathrm{,}{T}_A}=\frac{{\varrho }_{T_A}l}{r_A^2\pi }\mathrm{,}\text{és}{f}_A=2r_A\pi l\mathrm{,}}\end{array}$ ahol ${\varrho }_{T_A}$, az izzószál anyagának fajlagos ellenállása $T_A$ hőmérsékleten, $r_A$ az izzószál sugara és $l$ a hossza. A fenti egyenletekből: $\begin{array}{c}{\displaystyle r_A{U}^2=2l^2{K}_{T_A}{\varrho }_{T_A}\mathrm{.}}\end{array}$ Most gondolatban kapcsoljunk a $B$ izzólámpára olyan $U_B$ feszültséget, hogy az izzószál hőmérséklete $T_B=T_A$ legyen! Az azonos hőmérsékleten izzó izzószálak közül azt látjuk "fényesebbnek'', amelyiknek nagyobb a felszíne. Tehát ha a $B$ izzót ilyen $U_B$ feszültségre kapcsoljuk, akkor fényesebben világít, mint az $A$ izzó. A fentiekhez hasonlóan a $B$ izzóra $\begin{array}{c}{\displaystyle r_B{U}_B^2=2l^2{K}_{T_A}{\varrho }_{T_A}\mathrm{,}}\end{array}$ így az előbbiek alapján $\begin{array}{c}{\displaystyle U_B=U\sqrt[]{\frac{r_A}{r_B}}\mathrm{.}}\end{array}$ Mivel $r_A<r_B$, azért $U_B<U$. Ha most a $B$ lámpára $U_B$ helyett $U$ feszültséget kapcsolunk, akkor még fényesebben világít. Tehát azonos $U$ feszültségen a $B$ izzó világít fényesebben.   Megjegyzések. 1. Minden test bármely hőmérsékleten elektromágneses sugárzást bocsát ki a sugárzás hullámhosszától függően különböző energiával. Ezt az energiaeloszlást (Planck‐féle sugárzási törvény) ábrázoltuk az ábrán. A test $T$ hőmérséklete és a maximális energiával sugárzott elektromágneses hullám ${\lambda }_{\text{max}}$ hullámhossza között szoros kapcsolat van: ${\lambda }_{\text{max}}T=$konstans (Wien‐féle eltolódási törvény). Egy "izzásban'' levő test színét ${\lambda }_{\text{max}}$, ill. annak egy kis környezete szabja meg, feltéve, hogy ${\lambda }_{\text{max}}$ az elektromágneses spektrum szemünk által érzékelhető, "látható'' tartományában van. A Wien‐féle eltolódási törvény alapján mondhatjuk, hogy az azonos méretű izzószállal rendelkező lámpák közül azt látjuk "fényesebbnek'', amelyik magasabb hőmérsékleten izzik. (Például a villanyhegesztő kékes színű ívfényét sokkal fényesebbnek ítéljük, mint a hősugárzó jóval alacsonyabb hőmérsékletű izzószálának vöröses színét.) 2. A Stefan‐Boltzmann sugárzási törvény szerint a $T$ hőmérsékletű test egységnyi felülete által sugárzott teljesítmény csak a hőmérséklettől és a felület minőségétől $\left(s\left(T\right)\right)$ függ: $K_T=\sigma \epsilon \left(T\right)\cdot T^4$, ahol $\sigma$ univerzális állandó.   Így a megoldásban szereplő egyenlet a következő alakú: $\begin{array}{c}{\displaystyle r_A{U}^2=2l^2\sigma \epsilon \left(T_A\right)T_A^4{{\varrho }_T}_A\mathrm{,}}\end{array}$ (1) ha a lámpa gáztöltése által elvezetett hőt elhanyagoljuk.   3. Langmuir mérései alapján wolframra $\begin{array}{c}{\displaystyle {\varrho }_T=\varrho \left(293\text{ K}\right)\cdot T^{1\mathrm{,}2}\mathrm{.}}\end{array}$ (2) Az eddigiek alapján megbecsülhetjük a $T_B/T_A$ arányt. (1)-ből a (2) képlet behelyettesítésével $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{U^2\cdot r_A}{\sigma \varrho \left(293\text{ K}\right)\cdot 2l^2}=\epsilon \left(T_A\right)\cdot T_A^{5\mathrm{,}2}\mathrm{,}}\end{array}$ (3) és a $B$ lámpára (3)-hoz hasonlóan $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{U^2\cdot r_B}{\sigma \varrho \left(293\text{ K}\right)\cdot 2l^2}=\epsilon \left(T_B\right)\cdot T_B^{5\mathrm{,}2}\mathrm{.}}\end{array}$ (4) A két egyenletet elosztva $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{r_B}{r_A}=\frac{\epsilon \left(T_B\right)}{\epsilon \left(T_A\right)}{\left(\frac{T_B}{T_A}\right)}^{5\mathrm{,}2}\mathrm{.}}\end{array}$ (5) $\epsilon \left(T\right)$ a hőmérséklet lassan növekvő függvénye, ezért, ha $r_B$ és $r_A$ nem különbözik nagyon, $\frac{\epsilon \left(T_B\right)}{\epsilon \left(T_A\right)}\approx 1$. Ebben a közelítésben (5)-ből $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{log}\frac{T_B}{T_A}=\frac{1}{5\mathrm{,}2}\cdot \text{log}\frac{r_B}{r_A}\mathrm{.}}\end{array}$ (6) Legyen pl. $T_A=2500$ K, ami egy izzószál szokásos üzemi hőmérséklete, és $r_B/r_A=2$.   Ekkor (6)-ből ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \text{log}{T}_B=\frac{\text{log}2}{5\mathrm{,}2}+\text{log}{T}_A\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle T_B\approx 2860\text{ K}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$    Lipták László