Kezdőlap


Feladat:	550. fizika gyakorlat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Kaiser András , Kiss Lajos , Kotek Gyula
Füzet:	1982/december, 226 - 230. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Ellenállásmérés, Egyéb ellenállás-kapcsolások, Elektromos mérés, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1982/május: 550. fizika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $U$ a telep feszültsége $(U = 10 V)$ , $R$ a beépítendő ellenállás, $R_{x}$ a mérendő ellenállás, $R_{b}$ pedig az alapműszer belső ellenállása. Ez utóbbit a rendelkezésre álló adatokból kiszámíthatjuk:

\begin{matrix} R_{b} = 50 mV / 50 μ A = 1000 Ω = 1 k Ω . \end{matrix}

A három ellenállást többféleképpen kapcsolhatjuk.

I. Soros kapcsolás (l. az 1. ábrát).

1. ábra

A három ellenállás eredője

R + R_{b} + R_{x}

.
Az egész áramkörre Ohm törvényét alkalmazva:

\begin{matrix} I = \frac{U}{R + R_{b} + R_{x}}, \end{matrix}

(1)

így

\begin{matrix} R = (U / I) - R_{b} - R_{x} . \end{matrix}

(2)

A beállításnál az a cél, hogy a megadott háromféle

R_{x}

ellenállásnál a műszer mindig középállásban legyen, mert ezek csak hozzávetőlegesen megadott értékek, a mért ellenállások ennél kisebbek és nagyobbak is lehetnek. A műszer végkitérése

50 μ A

, így középállásban

25 μ A

-t mutat.

R_{x} = 100 Ω = 0, 1 k Ω

Ennél az értéknél tehát a műszernek

I = 25 μ A

-t kell jeleznie. Így (2) alapján már ki tudjuk számítani a beépítendő

R

ellenállást:

\begin{matrix} R = (10 V / 25 μ A) - 1 k Ω - 0, 1 k Ω \approx 400 k Ω . \end{matrix}

Nézzük meg, hogy ennél az ellenállásnál hogy alakul a műszer skálája.
Legyen pl.

R_{x} = 10 Ω

, akkor (1) alapján:

\begin{matrix} I = \frac{10 V}{400 k Ω + 1 k Ω + 10 Ω} \approx 25 μ A . \end{matrix}

Hasonlóan ha

R_{x} = 1 k Ω

, akkor

I \approx 25 μ A

. Tehát látható, hogy ez a kapcsolás a

100 Ω

körüli ellenállásokat nem tudja jól mérni, hiszen különböző ellenállások esetén a műszer mindig

25 μ A

-t mutat.

R_{x} = 10 k Ω

esetén a műszer mutatója szintén középen kell hogy legyen, tehát

I = 25 μ A

. (2) alapján a szükséges ellenállás:

\begin{matrix} R = (10 V / 25 μ A) - 1 k Ω - 10 k Ω = 389 k Ω . \end{matrix}

Nézzük meg ezekkel az adatokkal a skála alakulását:

\begin{matrix} \begin{matrix} R_{x} = I \end{matrix} \end{matrix}

Ez a skála már jobb, mint az előző, de ez a kapcsolás még mindig túl érzéketlen.

R_{x} = 100 k Ω, I = 25 μ A

.

Ebben az esetben is kiszámoljuk a beépítendő

R

ellenállást (2) szerint:

\begin{matrix} R = \frac{10 V}{25 μ A} - 1 k Ω - 100 k Ω = 299 k Ω . \end{matrix}

A mérendő

R_{x}

és a hozzá tartozó

I

értékek kiszámolására itt is nézzünk meg néhány példát az (1) szerint:

\begin{matrix} \begin{matrix} R_{x} = 10 k Ω & I = 32, 3 μ A, \\ R_{x} = 500 k Ω & I = 12, 5 μ A, \\ R_{x} = 1000 k Ω & I = 7, 7 μ A . \end{matrix} \end{matrix}

Még három áramerősséget kiszámítva megrajzolhatjuk a skálát:

\begin{matrix} \begin{matrix} R_{x} = 0 k Ω & I = 33, 3 μ A, \\ R_{x} = 50 k Ω & I = 28, 5 μ A, \\ R_{x} = 2000 k Ω & I = 4, 3 μ A . \end{matrix} \end{matrix}

(l. a 2. ábrát).

2. ábra

Látható, hogy ez a műszer már alkalmas ellenállásmérésre.
Összefoglalva: ez a kapcsolás a

100 k Ω

körüli ellenállásértékek mérésére a legcélszerűbb.

II. A műszert és a beépítendő ellenállást párhuzamosan kapcsoljuk (3. ábra).

3. ábra

Kirchhoff és Ohm törvényei szerint

\begin{matrix} I = I_{1} + I_{2}, így I_{2} = I - I_{1}, \\ R I_{2} = R_{b} I_{1}, így R = \frac{R_{b} I_{1}}{I_{2}}, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} R = \frac{R_{b} I_{1}}{I - I_{1}} . \end{matrix}

(3)

R_{x}

ellenállásra eső feszültséget

U = 10 V

-nak vesszük, mert a műszerre eső maximális feszültség

50 mV

, így ez elhanyagolható a

10 V

mellett:

\begin{matrix} I = U / R_{x} . \end{matrix}

(4)

R_{x} = 100 Ω

esetén a műszernek középállásban kell lennie, így a rajta átfolyó áram

I_{1} = 25 μ A

. (4) szerint

\begin{matrix} I = U / R_{x} = 10 V / 100 Ω = 10^{5} μ A = 0, 1 A . \end{matrix}

(3) alapján a beépített ellenállás

\begin{matrix} R = \frac{100 Ω \cdot 25 μ A}{10^{5} μ A - 25 μ A} = 0, 25 Ω . \end{matrix}

A skála elkészítéséhez nézzünk

100 Ω

körüli értékeket:

\begin{matrix} R_{x} = 50 Ω I = U / R_{x} = 0, 2 A . \end{matrix}

A műszeren átfolyó áram kiszámításához (3)-ból kifejezzük

I_{1}

-et:

\begin{matrix} I_{1} = \frac{R I}{R + R_{b}} \end{matrix}

(5)

Behelyettesítve:

\begin{matrix} I_{1} = 50 μ A . \end{matrix}

Hasonló módon kiszámolható még több

R_{x}

érték és a hozzá tartozó

I_{1}

. Ezeket most táblázatba foglaljuk:

\begin{matrix} \begin{matrix} R_{x} (Ω) & 50 & 60 & 70 & 80 & 100 & 200 & 500 \\ I_{1} (μ A) & 50 & 41, 7 & 35, 7 & 31, 25 & 25 & 12, 5 & 5 \end{matrix} \end{matrix}

4. ábra

Látható, hogy az ellenállás növelésével az áramerősség csökken. A táblázatból kiderül az alsó méréshatár is, hiszen a műszer maximális kitérése

50 μ A

, így a legkisebb ellenállás, amit ezzel az összeállítással mérni tudunk,

50 Ω

. A skálát a 4. ábrán rajzoltuk meg.

R_{x} = 10 k Ω, I_{1} = 25 μ A

I = U / R_{x} = 10 V / 10 k Ω = 1000 μ A

.
(3)alapján a beépítendő ellenállás:

\begin{matrix} R = \frac{1000 Ω \cdot 25 μ A}{1000 μ A - 25 μ A} = 25, 6 Ω . \end{matrix}

A (4) és (5) képletek alapján ismét kiszámíthatjuk a műszer skáláját (1. az 5. ábrát), a műszer jól használható.

\begin{matrix} \begin{matrix} R_{x} (k Ω) & 5 & 6 & 7 & 8 & 10 & 50 & 100 \\ I_{1} (μ A) & 50 & 41, 7 & 35, 8 & 31, 2 & 25 & 5 & 2, 5 \end{matrix} \end{matrix}

5. ábra

\begin{matrix} c) R_{x} = & 100 k Ω, I_{1} = 25 μ A, \\ I = & 10 V / 100 k Ω = 100 μ A, \\ R = & \frac{1000 Ω \cdot 25 μ A}{100 μ A - 25 μ A} = 333, 3 Ω . \end{matrix}

Az előzőekhez hasonlóan a műszer skálája (4) és (5) szerint a következőképpen alakul (l. a 6. ábrát)

\begin{matrix} \begin{matrix} R_{x} (k Ω) & 50 & 60 & 70 & 80 & 100 & 500 & 1000 \\ I_{1} (μ A) & 50 & 41, 7 & 35, 7 & 31, 25 & 25 & 5 & 2, 5 \end{matrix} \end{matrix}

6. ábra

A műszer most is jól használható.
Összefoglalva tehát: ennél a kapcsolásnál különböző beépített ellenállások esetén jól lehet mérni a műszerrel.

III. Most párhuzamosan kapcsoljuk a műszert és a mérendő ellenállást (7. ábra). Hasonlóan a II. esethez

7. ábra

\begin{matrix} I = I_{1} + I_{2} & (6) \\ R_{b} I_{1} = R_{x} I_{2}, így I_{2} = \frac{R_{b} I_{1}}{R_{x}}, & (7) \\ I = U / R, így R = U / I . & (8) \end{matrix}

R_{x} = 100 Ω, I_{1} = 25 μ A

.

(7) alapján

\begin{matrix} I_{2} = \frac{1000 Ω \cdot 25 μ A}{100 Ω} = 250 μ A . \end{matrix}

Ezért

\begin{matrix} I & = I_{1} + I_{2} = 275 μ A, \\ R & = U / I = 10 V / 275 μ A = 36, 3 k Ω . \end{matrix}

Nézzük meg, hogy ez az összeállítás milyen skálát eredményez. Ehhez újabb számolás szükséges, hiszen most

I_{1}

lesz a kérdés, ezt a (6) és (7) segítségével adhatjuk meg:

\begin{matrix} I_{1} = \frac{R_{x} I}{R_{b} + R_{x}} . \end{matrix}

Különböző

R_{x}

értékek esetén kiszámolva a műszeren átfolyó áramot, a következő skálát kapjuk:

\begin{matrix} \begin{matrix} R_{x} (Ω) & 60 & 100 & 150 & 200 \\ I_{1} (μ A) & 15, 6 & 25 & 35, 8 & 45, 8 \end{matrix} \end{matrix}

8. ábra

Látható, hogy itt csak szűk méréstartományban használhatjuk a műszert, mert

200 Ω

már majdnem az

50 μ A

-es végkitérést jelenti. A műszer skáláját a 8. ábra mutatja.

R_{x} = 10 k Ω, I_{1} = 25 μ A

.

(7) alapján

\begin{matrix} I_{2} = \frac{1 k Ω \cdot 25 μ A}{10 k Ω} = 2, 5 μ A . \end{matrix}

(6) szerint

I = 27, 5 μ A

, így

R = \frac{10 V}{27, 5 μ A} = 363, 6 k Ω

.
A skála (9. ábra):

\begin{matrix} \begin{matrix} R_{x} (k Ω) & 1 & 2 & 10 & 40 & 100 \\ I_{1} (μ A) & 13, 8 & 18, 3 & 25 & 26, 8 & 27, 2 \end{matrix} \end{matrix}

9. ábra

Itt már nagyon sűrűsödnek az árammérőn az értékek, így a mérés elég pontatlan.

R_{x} = 100 k Ω, I_{1} = 25 μ A

(7) alapján

I_{2} = 0, 25 μ A

, így

I = 25, 25 μ A

, tehát

R = 396 k Ω

. A skála (10. ábra):

\begin{matrix} \begin{matrix} R_{x} (k Ω) & 1 & 10 & 100 & 300 & 500 \\ I_{1} (μ A) & 12, 6 & 22, 95 & 25 & 25, 16 & 25, 2 \end{matrix} \end{matrix}

10. ábra

Ezek az értékek már nem olvashatók le megfelelő pontossággal, így ennél az ellenállásnál ez a kapcsolás használhatatlan.
Összefoglalva: a III. kapcsolásnál legjobban a

100 Ω

körüli értékek mérhetők.