Kezdőlap


Feladat:	533. fizika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Megyesi Gábor , Rimai Rita , Szolnoki Attila
Füzet:	1982/május, 225 - 227. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Folyadékok, szilárd testek fajhője, Közlekedőedény, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1981/december: 533. fizika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tekintsük az ábrán a csőben levő olajoszlop alsó szintjét. A másik oldali csőben levő víz magassága innen mérve legyen $x$ , a két folyadékszint különbsége $y$ .

Az olajoszlop alsó szintje alatt levő vízmennyiség egyensúlyban van, azaz a rá két oldalról ható nyomások azonosak. Annak alapján, hogy egy

h

magasságú folyadékoszlop nyomása

h g ϱ

ahol

ϱ

a folyadék sűrűsége,

g

a nehézségi gyorsulás, a fenti nyomásegyenlőség jelen esetben,

\begin{matrix} g ϱ_{1} (x + y) = g ϱ_{2} x \end{matrix}

(1)

alakban írható, ahol

ϱ_{1}

az olaj,

ϱ_{2}

a víz sűrűsége. Mivel

(x + y)

a teljes olajoszlop hossza, és az olaj térfogata ismert:

\begin{matrix} (x + y) A = V, \end{matrix}

(2)

ahol

A

a cső keresztmetszete,

V

az olajtérfogat. (1) és (2) alapján

\begin{matrix} x = (V / A) - y, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} y = \frac{V}{A} \frac{ϱ_{2} - ϱ_{1}}{ϱ_{2}} . \end{matrix}

(3)

Tehát megkaptuk a két folyadékszint különbségét.

y

a hőmérséklettől függeni fog, hiszen mind a

V

térfogat mind a sűrűségek változni fognak.

Tekintsük először konkrét adatokkal a közvetlenül beöntés utáni esetet. Az olaj sűrűsége

20^{\circ} C

-on

ϱ_{1} (20^{\circ} C) = 0, 9 {kg/dm}^{3}

, a vízé

ϱ_{2} (20^{\circ} C) = 1 {kg/dm}^{3}

, az olaj hőtágulási együtthatója

β_{1} = 0, 001 1 / K

, a vízé

β_{2} = 0, 00013 1 / K

. A

80^{\circ} C

-os olaj és a

20^{\circ} C

-os víz térfogata egyaránt

10 {cm}^{3}

. Az adatokból az olaj sűrűsége

80^{\circ} C

-on:

\begin{matrix} ϱ_{1} (80^{\circ} C) = \frac{ϱ_{1} (20^{\circ} C)}{1 + β_{1} \cdot Δ T}, \end{matrix}

ahol

Δ T = 60^{\circ} C (= 60 K)

. Az adatokkal

\begin{matrix} ϱ_{1} (80^{\circ} C) = 0, 849 {kg/dm}^{3} . \end{matrix}

Tehát a folyadékszintek különbsége:

\begin{matrix} y = 10 cm \frac{ϱ_{2} (20^{\circ} C) - ϱ_{1} (80^{\circ} C)}{ϱ_{2} (20^{\circ} C)}, \end{matrix}

behelyettesítve

\begin{matrix} y_{0} = 1, 50 cm . \end{matrix}

Az idő múlásával a helyzet alapvetően kétféle módon változhat meg. Első esetben a rendszer jól el van szigetelve a környezettől, s a rendszer a két folyadék közti hőcsere következtében azonos hőmérsékletet vesz fel. Második esetben a rendszer nem jól szigetelt, s a hőmérséklete bizonyos idő elteltével a környezet hőmérsékletével fog megegyezni. Akár azt is mondhatjuk, hogy ha az első eset bekövetkezésekor nagyon hosszú ideig várunk, a rendszer akkor is a környezet hőmérsékletét fogja felvenni. Tekintsük most az első esetet.
Legyen a víz hőkapacitása

c_{2}

, és tudjuk, hogy az olaj hőkapacitása

0, 4

-szerese a vízének, azaz:

\begin{matrix} c_{1} = 0, 4 \cdot c_{2} \end{matrix}

Legyen a beálló közös hőmérséklet

T_{k}

. Mivel a víz tömege

m_{2} = ϱ_{2} (20^{\circ} C) \cdot V

, az olajé

m_{1} = ϱ_{1} (80^{\circ} C) \cdot V

, ezért a hőcserét leíró egyenlőség az energiamegmaradás miatt

\begin{matrix} c_{2} (T_{k} - T_{2}) ϱ_{2} (20^{\circ} C) \cdot V = c_{1} (T_{1} - T_{k}) ϱ_{1} (80^{\circ} C) \cdot V, \end{matrix}

ahol

\begin{matrix} T_{2} = 20^{\circ} C = 293, 16 K, T_{1} = 80^{\circ} C = 353, 16 K . \end{matrix}

Ebből

\begin{matrix} T_{k} = \frac{\frac{c_{1}}{c_{2}} \cdot \frac{ϱ_{1} (80^{\circ} C)}{ϱ_{2} (20^{\circ} C)} \cdot T_{1} + T_{2}}{1 + \frac{c_{1}}{c_{2}} \cdot \frac{ϱ_{1} (80^{\circ} C)}{ϱ_{2} (20^{\circ} C)}} = 35^{\circ} C . \end{matrix}

Ezen a hőmérsékleten a víz sűrűsége

\begin{matrix} ϱ_{2} (35^{\circ} C) = \frac{ϱ_{2} (20^{\circ} C)}{1 + β_{2} Δ T_{2}}, \end{matrix}

ahol

Δ T_{2} = 15^{\circ} C

. Adatokkal

\begin{matrix} ϱ_{2} (35^{\circ} C) = 0, 998 {kg/dm}^{3} . \end{matrix}

Az olaj sűrűsége lecsökken, hasonlóképpen adódik, hogy

\begin{matrix} ϱ_{1} (35^{\circ} C) = 0, 887 {kg/dm}^{3} . \end{matrix}

Változik az olaj térfogata is:

\begin{matrix} V_{1, 35^{\circ} C} = V_{1, 80^{\circ} C} (1 - β_{1} Δ T_{1}), (itt Δ T_{1} = 45^{\circ} C, V_{1, 80^{\circ} C} = V), \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} V_{1, 35^{\circ} C} = 9, 57 {cm}^{3} . \end{matrix}

Ezekből (3) alapján a szintkülönbség:

\begin{matrix} y' = \frac{V_{1, 35^{\circ} C}}{A} \frac{ϱ_{2} (35^{\circ} C) - ϱ_{1} (35^{\circ} C)}{ϱ_{2} (35^{\circ} C)} = 1, 15 cm . \end{matrix}

Tekintsük most a második esetet. Ekkor a víz sűrűsége

ϱ_{2} (20^{\circ} C)

marad, az olaj sűrűsége

ϱ_{1} (20^{\circ} C) = 0, 9 {kg/dm}^{3}

lesz. A térfogat

\begin{matrix} V_{1, 20^{\circ} C} = V (1 - β_{1} Δ T') (Δ T' = 60^{\circ} C), \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} V_{1, 20^{\circ} C} = 9, 43 {cm}^{3} . \end{matrix}

Ezek alapján a szintkülönbség:

\begin{matrix} y'' = 1, 05 cm . \end{matrix}

Látható, hogy a szintkülönbség mindkét esetben csökkent, jelentős mértékben, majdnem

2 / 3

részére.

Megjegyzés. Jelen megoldásunk csak abban az esetben helyes, ha az alsó olajszint a cső függőleges részében található. Könnyen belátható, hogy az

U

-cső már hajló részében elhelyezkedő olajszint esetében a számítás jelentősen elbonyolódik, s a kapott eredmény az

U

-cső alakjának a függvénye is lesz, a jelenlegi egyszerű kiinduló egyenleteink így nem írhatók fel.