Kezdőlap


Feladat:	488. fizika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Pálya Károly , Törőcsik Jenő
Füzet:	1980/október, 88 - 90. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenletes mozgás (Egyenes vonalú mozgások), Egyenletesen változó mozgás (Változó mozgás), Függvények grafikus elemzése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1980/március: 488. fizika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A sebesség‐idő grafikon alapján a test mozgását öt szakaszra bonthatjuk:

1. szakasz. A test

t_{1} = 2

s alatt

v_{1} = 0 m/s

-ról

v_{2} = 5 m/s

-ra egyenletesen gyorsul. Gyorsulása:

\begin{matrix} a_{1} = \frac{v_{2} - v_{1}}{t_{1}} = 2, 5 {m/s}^{2} . \end{matrix}

Az elmozdulás

s_{1} = v_{1} t_{1} + (1 / 2) a_{1} t_{1}^{2} = 5 m

.
2. szakasz. A következő

t_{2} = 4 s

alatt a test 5 m/s sebességgel egyenletesen halad. Ez alatt

s_{2} = v_{2} t_{2} = 20 m

a test elmozdulása.
3. szakasz. A 6. és 8. s időintervallumban a test sebessége

v_{2} = 5 m/s

-ról

v_{3} = - 3 m/s

-ra változik. A grafikon alapján a változás egyenletes, így a test gyorsulása

t_{3} = 2 s

alatt:

\begin{matrix} a_{3} = \frac{v_{3} - v_{2}}{t_{3}} = - 4 {m/s}^{2} . \end{matrix}

Ezen a szakaszon a test sebessége nullára csökken

\begin{matrix} t'_{3} = \frac{0 m/s - 5 m/s}{- 4 {m/s}^{2}} = 1, 25 s alatt . \end{matrix}

Ez idő alatt

s'_{3} = v_{2} t'_{3} + (1 / 2) a_{3} t_{3}^{' 2} = 3, 125 m

a test elmozdulása. Tehát az elindulástól számítva 6 s+1,25 s=7,25 s múlva a test megáll. A 3. szakaszban még

t''_{3} = 0, 75 s

-ig mozog, ezalatt

s''_{3} = v_{1} t''_{3} = - 1, 125 m

a test elmozdulása, ahol a negatív előjel azt jelenti, hogy a test visszafordult.
4. szakasz. Ezen a szakaszon a test egyenletesen mozog

t_{4} = 6 s

ideig, sebessége

v_{3} = - 3 m/s

. Az elmozdulás

s_{4} = v_{3} t_{4} = - 18 m

.
5. szakasz. 14 s és 15 s között a test egyenletesen lassul

v_{3} = - 3 m/s

-ról

v_{1} = 0 m/s

-ra.

\begin{matrix} a_{5} = \frac{v_{1} - v_{3}}{t_{5}} = 3 {m/s}^{2} . \end{matrix}

Így az utolsó

t_{5} = 1 s

alatt

s_{5} = v_{3} t_{5} + (1 / 2) a_{5} t_{5}^{2} = - 1, 5 m

a test elmozdulása.
A megtett utat megkaphatjuk az öt szakaszból egyenként kiszámított elmozdulások abszolút értékének összegeként:

\begin{matrix} s_{1} + s_{2} + s'_{3} + | s''_{3} | + | s_{4} | + | s_{5} | = 48, 75 m . \end{matrix}

Ha a kiindulási helytől mért távolságot határozzuk meg, akkor ezeket az elmozdulásokat előjelesen kell összeadni:

\begin{matrix} s = 5 m + 20 m + 3, 125 m - 1, 125 m - 18 m - 1, 5 m = 7, 5 m . \end{matrix}

Az út‐idő összefüggés ábrázolásához tudnunk kell, hogy az 1., 3., 5. szakaszokon a test egyenletesen gyorsuló mozgást végez, így az elmozdulás az időnek másodfokú függvénye, tehát az elmozdulás-idő grafikonon a képe egy-egy parabolaív lesz. A 2. és 4. szakasz egyenletes mozgás, így az elmozdulás és az idő között lineáris kapcsolat áll fenn, tehát képük egy-egy egyenes szakasz. Ezek alapján készült az 1. ábra, amely a kiindulási ponttól mért távolságokat (az elmozdulást) adja meg az idő függvényében.

1. ábra

Törőcsik Jenő (Bp., Fazekas M. Gyak. Gimn., I. o. t.)

II. megoldás. Ez a megoldás az előzőtől a megtett utak kiszámításának módjában tér el. A megtett elmozdulás értékét a sebesség‐idő grafikon görbéje alatti terület számértéke adja meg. A 2. ábra mutatja a megfelelő részeket.

2. ábra

t = 5 s

: Az 5 s alatt megtett út a

T_{1}

trapéz területéből számolható:

\begin{matrix} T_{1} = \frac{5 + 3}{2} \cdot 5 = 20 egység . \end{matrix}

Ezért a megtett út

s = 20 m

.
b)

t = 10 s

: Ezt az utat a

T_{1}

T'_{2}

és

T''_{2}

területek adják meg. A visszafordulás időpontját az

A B C

és a

C D E

hasonló háromszögekből határozhatjuk meg:

\begin{matrix} A B : A C & = D E : C D, \\ A C + C D & = 2, \\ A B & = 5, \\ D E & = 3, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} A C & = 5 / 4 = 1, 25, \\ C D & = 3 / 4 = 0, 75. \end{matrix}

Most már

T'_{2} és T''_{2}

számolható:

\begin{matrix} T'_{2} & = \frac{2, 25 + 1}{2} \cdot 5 = 8, 125 egység, \\ T''_{2} & = \frac{2, 75 + 2}{2} \cdot 3 = 7, 125 egység . \end{matrix}

Így a 10 s alatt összesen megtett út: 20 m+8,125 m+7,125 m=35,25 m. Ha a kiindulási helytől mért távolságot határozzuk meg, akkor a területeket is előjelesen kell figyelembe vennünk:

\begin{matrix} s = 20 m + 8,125 m - 7,125 m = 21 m . \end{matrix}

t = 15 s

\begin{matrix} T_{3} = \frac{5 + 4}{2} \cdot 3 = 13, 5 egység . \end{matrix}

A megtett út:

20 m + 8,125 m + 7,125 m + 13,5 m = 48,75 m

. A kiindulási helytől mért távolságot a területek előjeles összege adja meg:

\begin{matrix} s = 20 m + 8,125 m - 7,125 m - 13,5 m = 7,5 m . \end{matrix}

Pálya Károly (Ózd, József A. Gimn., II. o. t.)