Feladat:	453. fizika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bedey György ,  Bocsák András ,  Ficker Péter ,  Guba Kornél ,  Horváth Zoltán ,  Molnár Károly ,  Peták Tamás
Füzet:	1979/április, 177 - 178. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Arkhimédész törvénye, Úszás, Izotermikus állapotváltozás (Boyle--Mariotte-törvény), Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1978/december: 453. fizika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Az úszás feltétele Archimedes törvénye alapján: $\begin{array}{c}{\displaystyle G=\pi \left(2Rd+d^2\right)\left(L-h\right){\gamma }_v+\pi R^{2}x{\gamma }_v\mathrm{,}}\end{array}$ ahol a jobb oldal első tagjában a kémcső vízbe merülő részének térfogata, másodikban a vízbe "merülő" levegőrész térfogata szerepel (${\gamma }_v$ a víz fajsúlya, a többi mennyiség az 1. ábra szerinti). Innen $\begin{array}{c}{\displaystyle x=\frac{G}{R^2\pi {\gamma }_v}-\left(L-h\right)\frac{2Rd+d^2}{R^2}\mathrm{,}}\end{array}$ így $\begin{array}{c}{\displaystyle L-h-x=\left(L-h\right){\left(\frac{R+d}{R}\right)}^2-\frac{G}{R^2\pi {\gamma }_v}\mathrm{.}}\end{array}$ Tehát a kémcsőben levő víz térfogata $\begin{array}{c}{\displaystyle V=\left(L-h-x\right)R^2\pi =\left(L-h\right){\left(R+d\right)}^2\pi -G/{\gamma }_v\mathrm{.}}\end{array}$ ${\gamma }_v=0\mathrm{,}01{\text{ N/cm}}^3$, és a számadatok felhasználásával $\begin{array}{c}{\displaystyle x=2\mathrm{,}82\text{ cm};V=14\mathrm{,}12{\text{ cm}}^3\mathrm{.}}\end{array}$     1. ábra   A kémcsőben levő levegő nyomása a külső légnyomás és az $x$ magasságú vízoszlop nyomásának az összege: $\begin{array}{c}{\displaystyle p=p_0+x{\gamma }_v;}\end{array}$ ahol $p_0={10}^5\text{ Pa}$ a külső légnyomás. Számadatokkal $\begin{array}{c}{\displaystyle p=100282\text{ Pa.}}\end{array}$ Ha a kémcső közvetlenül a vízszint alá süllyed, a ráható erők egyensúlya alapján ($2.$ ábra) $\begin{array}{c}{\displaystyle G=\pi \left(2Rd+d^2\right)L{\gamma }_v+R^2\pi x\text{'}{\gamma }_v\mathrm{,}}\end{array}$ innen $\begin{array}{c}{\displaystyle x\text{'}=\frac{G}{R^2\pi {\gamma }_v}-L\frac{2Rd+d^2}{R^2}\mathrm{,}}\end{array}$ azaz $\begin{array}{c}{\displaystyle x\text{'}=1\mathrm{,}60\text{ cm}\mathrm{,}x\text{'}-d=1\mathrm{,}50\text{ cm}\mathrm{.}}\end{array}$     2. ábra   Jelölje $p\text{'}$ a kémcsőben levő levegő megváltozott nyomását. A Boyle-Mariotte-törvény alapján $\begin{array}{c}{\displaystyle p\text{'}\left(x\text{'}-d\right)R^2\pi =p\left(x+h-d\right)R^2\pi \mathrm{,}}\end{array}$ ebből ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle p\text{'}=p\frac{x+h-d}{x\text{'}-d}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle p\text{'}=4\mathrm{,}48p=449263\text{ Pa}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ A $p\text{'}$ légnyomás $x\text{'}$ magasságú vízoszlop nyomásával nagyobb a külső nyomásnál (a gumihártya alatti $p{\text{'}}_0$ nyomásnál): $\begin{array}{c}{\displaystyle P{\text{'}}_0=p\text{'}-x\text{'}{\gamma }_v\mathrm{,}}\end{array}$ innen ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle p\text{'}=449103\text{ Pa}\approx 4\mathrm{,}49p_0\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \Delta p_0=p{\text{'}}_0-p_0\approx 3\mathrm{,}49p_0\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Tehát ezzel a $\Delta p_0$ értékkel kell megváltoztatnunk a gumihártya alatti nyomást. A kémcsőben levő víz mennyisége ekkor: $\begin{array}{c}{\displaystyle V\text{'}=R^2\pi \left(L-x\text{'}\right)=22\mathrm{,}17{\text{ cm}}^3\mathrm{.}}\end{array}$ .    Furó István