Kezdőlap


Feladat:	424. fizika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bori Róbert , Czuczor Judit , Déri Gábor , Győri János , Gyurós Tibor , Jilling Ferenc , Kerekes Tibor , Péntek Zoltán , Ravasz László , Sánta István , Várhelyi Tamás
Füzet:	1978/március, 130 - 131. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hangsebesség, Hullámterjedés 3 dimenzióban, Huygens-elv, Gömbhullám, Geometriai szerkesztések alkalmazása, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1977/november: 424. fizika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A repülőgép sebessége $v = 500$ m/s, tehát nagyobb, mint a $c = 340$ m/s hangsebesség. Nézzük meg, hogy hova jut el a $v$ sebességű repülőgép hangja, miközben a repülőgép egy $P_{1}$ pontból valamely $P_{2}$ pontba kerül $t$ idő alatt (1. ábra). A $P_{1}$ pontból kibocsátott hanghullámok $t$ idő alatt a $P_{1}$ középpontú, $c t$ sugarú gömb pontjaiba jutnak el. Ha a repülőgép a $P_{1}$ pontból egy $P_{1}$ és $P_{2}$ között levő $P$ pontba $t_{1}$ idő alatt jut el, akkor a $P$ pontból kibocsátott hanghullámok a $t$ időszakasz végéig a $P$ középpontú, $c (t - t_{1})$ sugarú gömb pontjaiba jutnak el.

1. ábra

A repülőgép

t - t_{1}

idő alatt ér a

P

pontból a

P_{2}

pontba, ezért

\bar{P P_{2}} = v (t - t_{1})

. Így

\begin{matrix} \frac{\bar{P P_{2}}}{\bar{P_{1} P_{2}}} = \frac{v (t - t_{1})}{v t} = \frac{t - t_{1}}{t} = \frac{c (t - t_{1})}{c t} . \end{matrix}

vagyis a gömbök középpontjának

P_{2}

-től mért távolságának aránya egyenlő a gömbök sugarának arányával. Ebből következik, hogy tetszőleges közbülső

P

pont körül megrajzolt gömb éppen érinti a

P_{2}

csúcspontból a

P_{1}

középpontú gömbhöz rajzolt érintőkúpot. Tehát a

P

pontok körül megrajzolt gömbök éppen kitöltik a most említett kúpnak a

P_{1}

körüli gömb és a

P_{2}

csúcs közötti részét.
Ez azt jelenti, hogy ha a repülőgép a távolból

v

sebességgel az

e

egyenes mentén haladva a

P_{2}

pontba ért, akkor eddig az időpontig a repülőgép hangját a szóban forgó végtelen kúp pontjaiban lehetett hallani, a kúpon kívül viszont nem volt hallható a repülőgép.
A

B

pontban álló megfigyelő akkor hallja meg először a repülőgép hangját, amikor a repülőgép helyéről mint csúcspontból megrajzolt, fenti tulajdonságú kúp eléri a

B

pontot.

2. ábra

Határozzuk meg a repülőgépnek ezt az

A

helyzetét! Az

A B D

és

P_{1} P_{2} Q

háromszögek hasonlóságából következik (l. a 2. ábrát), hogy

\begin{matrix} \bar{A B} : \bar{B D} = \bar{P_{1} P_{2}} : \bar{P_{1} Q}, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} \bar{A B} : h = v t : c t, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} \bar{A B} = h v / c = (250 / 17) km \approx 14, 7 km . \end{matrix}

A Pitagorász-tétel felhasználásával

\begin{matrix} \bar{A D} = \sqrt[]{{(h \frac{v}{c})}^{2} - h^{2}} = \frac{h}{c} \sqrt[]{v^{2} - c^{2}} \approx 10, 8 km . \end{matrix}

Az előbbiek alapján világos, hogy a

B

pontba érkezett hang abból a

C

pontból indult ki, amely az

A B

-re állított merőlegesen helyezkedik el. Használjuk fel az

A B C

és

A B D

háromszögek hasonlóságát, így

\begin{matrix} \bar{A C} : \bar{A B} = \bar{A B} : \bar{A D}, \\ \bar{A C} = \frac{{(\bar{A B})}^{2}}{\bar{A D}} = {(h \frac{v}{c})}^{2} \cdot \frac{c}{h \sqrt[]{v^{2} - c^{2}}} = \frac{v^{2} h}{c \sqrt[]{v^{2} - c^{2}}} \approx 20 km, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} \bar{C D} = \bar{A C} - \bar{A D} \approx 9, 2 km . \end{matrix}

\bar{A D}

szakaszt a repülőgép

\begin{matrix} \frac{\bar{A D}}{v} \approx \frac{10, 8 km}{0, 5 km/s} \approx 21, 6 s \end{matrix}

alatt teszi meg, eszerint a repülőgép hangját

21, 6 s

-mal azután halljuk, hogy a repülőgép a fejünk felett elszállt.

Czuczor Judit (Paks, Vak Bottyán Gimn., I. o. t.)
dolgozata alapján