Kezdőlap


Feladat:	411. fizika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Makay Gábor
Füzet:	1977/november, 166 - 168. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hangmagasság (hangskálák), Doppler-hatás (Doppler-effektus), Hangsebesség, Egyenletes mozgás (Egyenes vonalú mozgások), Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1977/április: 411. fizika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Egy tőlünk távolodó vagy hozzánk közeledő hangforrás hangját általában nem halljuk ugyanolyan hangmagasságúnak, mint a hangforrással együtt mozgó megfigyelő. Ezt a Doppler-effektusnak nevezett jelenséget az okozza, hogy a hangmagasságot az azonos időközönként kibocsájtott ,,hangimpulzusok'' ismétlődési sűrűsége határozza meg, és mivel az egyes hangimpulzusok nem azonos utat tesznek meg a hangforrástól az észlelőig, az észlelések közötti idő eltér a kibocsájtások között eltelt időtől.
Vezessünk le először egy olyan általános összefüggést, amely megadja a kibocsájtott és az észlelt hangmagasságok közötti kapcsolatot. Jellemezzük a hangmagasságot a hang frekvenciájával (jele $f$ , egysége $1 / s$ ), amely az időegység alatti hangrezgések számát adja meg. Nyilvánvalóan két szomszédos ,,hangimpulzus'' vagy ,,hangrezgés'' között éppen $1 / f$ idő telik el. Feladatunknak megfelelően legyen nyugalomban a megfigyelő és távolodjon tőle $v$ sebességgel a hangforrás. (A megfigyelő a hangforrás által befutott egyenes pálya mentén áll.) Tegyük fel, hogy a hangforrás sebességével párhuzamos, azzal egyirányú $u$ sebességű szél is fúj. A hangsebesség a nyugvó levegőben $c$ .
Legyen a hangforrással együtt utazó megfigyelő (pl. a jármű vezetője) által hallott hang frekvenciája $f_{0}$ , az út mentén álló észlelő által hallott hangé $f$ . $f_{0}$ ismeretében kiszámítjuk $f$ -et.
Tekintsünk két egymást követő ,,hangimpulzust''. Mérjük az időt attól a pillanattól, amikor az első keletkezett. A második impulzus keletkezési időpontja éppen a hangforrás ismétlődési ideje, $1 / f_{0}$ . Legyen a hangforrás és az észlelő távolsága a nulla időpillanatban $x$ . Jelöljük a két hangimpulzus meghallásának pillanatát $t_{1}$ -gyel és $t_{2}$ -vel. Az első impulzus pontosan $x$ utat fut be a kibocsájtástól az észlelésig (hiszen az észlelő áll):

\begin{matrix} t_{1} = \frac{x}{c - u}, \end{matrix}

mivel a hang terjedési sebessége a levegőhöz képest

c

, a földhöz viszonyítva

c - u

. A hangforrás sebessége

v

, így a két impulzus kibocsájtása közben

v / f_{0}

-lal távolodott az észlelőtől. A második impulzus útja

x + (v / f_{0})

, kibocsátása és észlelése között eltelt idő

\begin{matrix} t_{2} - (1 / f_{0}) = \frac{x + (v / f_{0})}{c - u} . \end{matrix}

Így az észlelő által hallott ismétlődési idő

\begin{matrix} 1 / f_{0} = t_{2} - t_{1}, \end{matrix}

az előbb kapott

t_{1}

t_{2}

értékek felhasználásával

\begin{matrix} f = f_{0} \frac{c - u}{c - u + v} . \end{matrix}

Ezt a képletet akartuk levezetni. Ez az összefüggés érvényes negatív

u

, azaz a hangforrás sebességével ellentétes irányú szél esetére is. Behelyettesítve az

f = f_{0}

feltételt,

c

és

u

értékétől függetlenül

v = 0

adódik, azaz úgy tűnik, hogy a feladatban leírt jelenség nem valósulhat meg. Próbálkozzunk azonban

f = - f_{0}

behelyettesítésével. A

\begin{matrix} v = 2 u - 2 c \end{matrix}

eredmény szélmentes esetben

(u = 0)

\begin{matrix} v = - 2 c . \end{matrix}

Ez azt jelenti, hogy a jármű felénk közeledik, sebessége pedig éppen a hangsebesség kétszerese. Most már megérthetjük az

f = - f_{0}

összefüggés fizikai jelentését is. A jármű elhagyja a saját hangját, az egyes hangimpulzusok pedig fordított sorrendben érkeznek a megfigyelőhöz, mint a kibocsátási sorrend. A frekvenciák reciprokai az impulzusközök, ezek előjelet váltanak. Sőt, amikor a hangot halljuk, a jármű már elhaladt mellettünk, vagyis már távolodik tőlünk.
A feladatban leírt helyzet tehát elképzelhető: a tőlünk kétszeres hangsebességgel távolodó repülőgépen levő hangforrás korábban kibocsátott hangját ugyanolyan hangmagasságúnak halljuk, mint a pilóta.

Megjegyzés. A feladat megoldása úgy is elképzelhető, hogy a gépjármű vezetője nem közvetlenül hallja a sziréna hangját, hanem valamely, az út mentén alkalmasan elhelyezett falról visszaverődve.

Makai Gábor (Kiskunhalas, Szilády Á. Gimn. I. o. t.)