Kezdőlap


Feladat:	393. fizika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kruchió Péter
Füzet:	1977/február, 84 - 85. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tömegközéppont helye, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1976/október: 393. fizika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel a lemez homogén, a belőle készített síkidom súlya egyenesen arányos az idom területével. Egyszerűség kedvéért válasszuk az egységnyi területű idom súlyát súlyegységnek, ekkor a síkidom súlyát a területével mérhetjük. Az $R$ sugarú kör területe $t_{1} = R^{2} π$ . Számítsuk ki a $r$ oldalú szabályos háromszög területét !

A Pitagorasz-tétel alapján (az ábrán látható

A B C

háromszögre alkalmazva):

\begin{matrix} \bar{B C^{2}} = r^{2} - {(\frac{r}{2})}^{2} = \frac{3 r^{2}}{4}, \end{matrix}

tehát a szabályos háromszög magassága:

\begin{matrix} \bar{B C} = \sqrt[]{\frac{3 r^{2}}{4}} = \frac{r \sqrt[]{3}}{2} . \end{matrix}

Így a

r

oldalú szabályos háromszög területe:

\begin{matrix} t_{2} = \frac{r}{2} \cdot \frac{r \sqrt[]{3}}{2} = \frac{r^{2} \sqrt[]{3}}{4} . \end{matrix}

Jelöljük, a szabályos háromszög súlypontját

S_{1}

-gyel. Mivel

S_{1}

a háromszög súlyvonalainak metszéspontja, amely a súlyvonalakat harmadolja, azért

S_{1}

-nek a kör középpontjától való távolsága:

\begin{matrix} \bar{C S_{1}} = \frac{2}{3} \cdot \bar{B C} = \frac{2}{3} \cdot \frac{r \sqrt[]{3}}{2} = \frac{r \sqrt[]{3}}{3} . \end{matrix}

Jelöljük a maradék idom súlypontját

S_{2}

-vel. Ha a maradék idomot és a háromszöget egyesítjük, az eredeti kört kapjuk, amelynek súlypontja a

C

középpontban van. Ezért a

C

pont az

S_{1} S_{2}

egyenesszakaszon van, mégpedig a szakaszt a súlyokkal fordított arányban osztja. (A maradék idom súlyerejének és a háromszög súlyerejének

C

-re vonatkozó forgatónyomatéka egyenlő.)

A maradék idom területe

\begin{matrix} t_{1} - t_{2} = R^{2} π - \frac{r^{2} \sqrt[]{3}}{4}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} \bar{C S_{2}} : \bar{C S_{1}} = \frac{r^{2} \sqrt[]{3}}{4} : (R^{2} π - \frac{r^{2} \sqrt[]{3}}{4}) . \end{matrix}

Ebből

\begin{matrix} \bar{C S_{2}} = \frac{\frac{r^{2} \sqrt[]{3}}{4}}{R^{2} π - \frac{r^{2} \sqrt[]{3}}{4}} \cdot \frac{r \sqrt[]{3}}{3} = \frac{r^{3}}{4 R^{2} π - r^{2} \sqrt[]{3}}, \end{matrix}

vagyis a maradék idom súlypontja a háromszög magasságvonalának egyenesén, a háromszöggel ellentétes irányban, a kör középpontjától

\frac{r^{3}}{4 R^{2} π - r^{2} \sqrt[]{3}}

távolságra helyezkedik el.

Kruchió Péter (Békéscsaba, Rózsa F. Gimn., I. o. t.)