Kezdőlap


Feladat:	331. fizika gyakorlat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bakondi Gábor , Kisvárdai László , Kruchió Gábor
Füzet:	1974/november, 170 - 171. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Áramforrások belső ellenállása, Ellenállások soros kapcsolása, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1974/április: 331. fizika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A sorosan kapcsolt $R$ és $r$ ellenállások eredője $R + r$ , így az áramkörben folyó áram erőssége Ohm törvénye alapján

\begin{matrix} I = U / (R + r), \end{matrix}

tehát az

r

ellenállásra eső teljesítmény, a hasznos teljesítmény

\begin{matrix} P_{h} = I^{2} \cdot r = U^{2} \cdot r / {(R + r)}^{2} . \end{matrix}

A hatásfok a hasznos teljesítmény és az áramkör összteljesítményének hányadosa:

\begin{matrix} η = \frac{I^{2} \cdot r}{I^{2} \cdot (R + r)} = \frac{r}{R + r} . \end{matrix}

Értéktáblázat segítségével ábrázoljuk a hasznos teljesítményt és a hatásfokot mint

r

függvényét!

\begin{matrix} r [Ω] & 0 & 20 & 40 & 60 & 80 & 100 & 120 & 140 & 160 & 180 & 200 \\ P_{h} [W] & 0 & 0,139 & 0,204 & 0,234 & 0,247 & 0,250 & 0,248 & 0,243 & 0,237 & 0,230 & 0,222 \\ 0 & 0,167 & 0,286 & 0,375 & 0,444 & 0,500 & 0,545 & 0,583 & 0,615 & 0,643 & 0,667 \end{matrix}

Ennek alapján

P_{h}

akkor a legnagyobb, ha

r = 100

ohm. Ekkor

η = 0, 5

Bakondi Gábor (Bp., Petőfi S. Gimn., I. o. t.)

Megjegyzés.

P_{h}

maximumát pontosan a következőképpen kereshetjük meg. Mivel

P_{h} \geq 0

, azért

P_{h}

akkor lesz a legnagyobb, amikor

\begin{matrix} \frac{1}{P_{h}} = \frac{1}{U^{2}} \cdot \frac{{(R + r)}^{2}}{2} = \frac{1}{U^{2}} (\frac{R^{2}}{r} + r + 2 R) \end{matrix}

a legkisebb. Ez pedig nyilván olyan

r

értékre teljesül, amelyre

(R^{2} / r) + r

minimális (hiszen

U

és

R

rögzitett érték). Megmutatjuk, hogy ez

r = R

esetén teljesül. Induljunk ki az

\begin{matrix} {[(R^{2} / r) - r]}^{2} \geq 0 \end{matrix}

egyenlőtlenségből, mely minden

r

-re igaz, az egyenlőség jele pedig

(R^{2} / r) - r = 0

, azaz

r = R

esetén érvényes. Ebből következik:

\begin{matrix} {(\frac{R^{2}}{r})}^{2} + r^{2} - 2 R^{2} \geq 0, {(\frac{R^{2}}{r})}^{2} + r^{2} + 2 R^{2} \geq 4 R^{2}, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} {(\frac{R^{2}}{r} + r)}^{2} \geq {(2 R)}^{2}, \frac{R^{2}}{r} + r \geq 2 R, \end{matrix}

az egyenlőség

r = R

esetén érvényes. Ezzel állításunkat bebizonyítottuk.

Kisvárdai László (Csongrád, Batsányi J. Gimn., I. o. t.) dolgozata alapján