Kezdőlap


Feladat:	312. fizika gyakorlat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Boda István , Kassay Attila
Füzet:	1974/február, 84 - 86. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Áramforrások belső ellenállása, Feszültségmérés (voltmérő), Egyéb ellenállás-kapcsolások, Ellenállásmérés, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1973/október: 312. fizika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$0, 1$ A-ig mérő műszert az alapműszerrel párhuzamosan kapcsolt $R_{s}$ söntellenállás segítségével nyerhetünk. Kirchhoff törvénye szerint

\begin{matrix} R_{s} : R_{b} = 0, 00005 : (0, 1 - 0, 00005), \end{matrix}

ebből jó közelítéssel

\begin{matrix} R_{s} = (0, 00005 / 0, 1) R_{b} = 0, 0005 R_{b} = 0, 0025 ohm . \end{matrix}

10 V-ig mérő műszert pedig az alapműszerrel sorba kapcsolt

R_{e}

előtétellenállás felhasználásával nyerhetünk. Mivel a műszeren eső feszültség legfeljebb

\begin{matrix} 0, 00005 A \cdot 5 ohm = 0, 00025 V \end{matrix}

lehet, ezért

\begin{matrix} R_{e} : R_{b} = (10 - 0, 00025) : 0, 00025, \end{matrix}

ahonnan jó közelítőssel

\begin{matrix} R_{e} = (10 / 0, 00025) R_{b} = 40 000 R_{b} = 200 000 ohm . \end{matrix}

R_{x}

ellenállást Ohm törvényének felhasználásával úgy mérhetjük meg, hogy az

R_{x}

en eső

U_{x}

feszültséget elosztjuk az

R_{x}

en átfolyó áram

I_{x}

erősségével.

a) Az első kapcsolásban pontosan megmérjük az

R_{x}

-en eső

U_{x}

feszültséget, de az

R_{x}

en átfolyó

I_{x}

áramerősség helyett a párhuzamosan kapcsolt

R_{x}

és az

R_{v} = R_{e} + R_{b}

ellenállásokon átfolyó

I

áramerősséget mérjük. Mivel

R_{x}

és

R_{v}

eredője

\begin{matrix} \frac{R_{x} R_{v}}{R_{x} + R_{v}}, \end{matrix}

azért

\begin{matrix} I = \frac{R_{x} + R_{v}}{R_{x} R_{v}} \cdot U_{x}, \end{matrix}

s így az

R_{x}

helyett mért ellenállás

\begin{matrix} \frac{U_{x}}{I} = \frac{R_{x} R_{v}}{R_{x} + R_{v}} . \end{matrix}

Tehát az elkövetett hiba abszolút értéke

\begin{matrix} R_{x} - \frac{R_{x} R_{v}}{R_{x} + R_{v}} = \frac{R_{x}^{2}}{R_{x} + R_{v}}, \end{matrix}

a relatív hiba

\begin{matrix} \frac{1}{R_{x}} \cdot (R_{x} - \frac{R_{x} R_{v}}{R_{x} + R_{v}}) = 1 - \frac{R_{v}}{R_{x} + R_{v}} = \frac{R_{x}}{R_{x} + R_{v}} . \end{matrix}

Láthatjuk, hogy

R_{x}

-et növelve a relatív hiba nő. A jelen esetben

R_{v} = 200 000 ohm

, így

R_{x} \approx 100 ohm

mellett

R_{x}

mérésében elkövetett hiba nagysága

\begin{matrix} [100^{2} / (100 + 200 000)] ohm \approx (10 000 / 200 000) ohm = (1 / 20) ohm = 0, 05 ohm, \end{matrix}

a relatív hiba

\begin{matrix} 0, 05 / 100 = 0, 0005 = 0, 05 % . \end{matrix}

R_{x} \approx 10 000 ohm

esetén a hiba nagysága

\frac{10 000^{2}}{10 000 + 200 000} ohm \approx (10 000^{2} / 200 000) ohm = 500 ohm

a relatív hiba

\begin{matrix} 500 / 10 000 = 0, 05 = 5 % . \end{matrix}

b) A második kapcsolás segítségével pontosan mérjük

I_{x}

et, de az

R_{x}

-en eső

U_{x}

feszültség helyett az

(R_{x} + R_{a})

-n eső

U

feszültséget mérjük, ahol

\begin{matrix} R_{a} = \frac{R_{b} R_{s}}{R_{b} + R_{s}} . \end{matrix}

Tehát a mért és a pontos

R_{x}

érték különbsége, a hiba nagysága

\begin{matrix} (R_{x} + R_{a}) - R_{x} = R_{a}, \end{matrix}

a relatív hiba

\begin{matrix} R_{a} / R_{x}, \end{matrix}

R_{x}

növelésével csökken.
A jelen esetben

\begin{matrix} R_{a} = \frac{5 \cdot 0, 0025}{5 + 0, 0025} ohm \approx 0, 0025 ohm, \end{matrix}

így bármekkora

R_{x}

mellett a hiba

\begin{matrix} 0, 0025 ohm, \end{matrix}

tehát kisebb, amint az első mérés hibája. Különösen az

R_{x} \approx 10 000 ohm

esetben előnyösebb lényegesen a 2. kapcsolás. A relatív hiba

R_{x} \approx 100 ohm

mellett

\begin{matrix} 0, 0025 / 100 = 0, 0025 % \end{matrix}

míg

R_{x} \approx 10 000 ohm

mellett

\begin{matrix} 0, 0025 / 10 000 = 0, 000025 % . \end{matrix}

Összefoglalva tehát mind

R_{x} \approx 100 ohm

, mind

R_{x} \approx 10 kiloohm

esetén a 2. kapcsolással pontosabban mérhetjük az

R_{x}

ellenállást, bár

R_{x} \approx 100 ohm

esetében az I. kapcsolás is elég pontos eredményt szolgáltat.

Boda István (Debrecen, KLTE Gyak. Gimn., I. o. t.)

Megjegyzés. Meghatározhatjuk azt is, hogy mekkora

R_{x}

értékek mellett célszerű az 1. kapcsolást választani. A fentiek szerint olyan

R_{x}

értékeket keresünk, melyekre

\begin{matrix} \frac{R_{x}^{2}}{R_{x} + R_{v}} < R_{a}, azaz \\ R_{x}^{2} < R_{a} R_{x} + R_{a} R_{v} . \end{matrix}

Ennek a másodfokú egyenlőtlenségnek a megoldása közelítőleg

\begin{matrix} R_{x} < \sqrt[]{R_{a} R_{v}}, esetünkben R_{x} < 22, 3 ohm . \end{matrix}

Tehát

22, 3

ohmnál kisebb ellenállások mérésére az 1. kapcsolást célszerű választani.

Kassay Attila (Miskolc, Földes F. Gimn., I. o. t.).