Kezdőlap


Feladat:	280. fizika gyakorlat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bérczi Tamás , Gémesi Csaba
Füzet:	1972/november, 173. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb ellenállás-kapcsolások, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1972/május: 280. fizika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az a) esetben az eredő ellenállás a párhuzamosan kapcsolt ellenállások eredőinek összege

\begin{matrix} R_{a} = \frac{R_{1} R_{2}}{R_{1} + R_{2}} + \frac{R_{1} R_{3}}{R_{1} + R_{3}} + \frac{R_{2} R_{3}}{R_{2} + R_{3}}, \end{matrix}

míg a b) esetben az eredő ellenállás

\begin{matrix} R_{b} = \frac{R_{1}}{2} + \frac{R_{2}}{2} + \frac{R_{3}}{2} . \end{matrix}

Megmutatjuk, hogy

R_{a} ≦ R_{b}

, és egyenlőség csak

R_{1} = R_{2} = R_{3}

esetén áll fenn. Felhasználjuk ehhez azt, hogy két pozitív szám,

a

és

b

mértani közepe kisebb vagy egyenlő a két szám számtani középértékével, vagyis

\begin{matrix} \sqrt[]{a b} ≦ \frac{a + b}{2}, azaz a b ≦ \frac{{(a + b)}^{2}}{4}, \end{matrix}

s az egyenlőség jele csak

a = b

esetén érvényes. Ezért

\begin{matrix} R_{a} ≦ \frac{{(R_{1} + R_{2})}^{2}}{4 (R_{1} + R_{2})} + \frac{{(R_{1} + R_{3})}^{2}}{4 (R_{1} + R_{3})} + \frac{{(R_{2} + R_{3})}^{2}}{4 (R_{2} + R_{3})} = \frac{2 R_{1} + 2 R_{2} + 2 R_{3}}{4} = R_{b}, \end{matrix}

tehát

R_{a} ≦ R_{b}

és

R_{a} = R_{b}

csak

R_{1} = R_{2} = R_{3}

esetében teljesül.

Gémesi Csaba (Aszód, Petőfi S. Gimn., I. o. t.)

Megjegyzés. Az

R_{a} ≦ R_{b}

egyenlőtlenséget annak felhasználásával is bizonyíthatjuk, hogy két pozitív szám,

a

és

b

harmonikus közepe, azaz

\begin{matrix} \frac{2}{1 / a + 1 / b} = \frac{2 a b}{a + b} \end{matrix}

kisebb vagy egyenlő a két szám számtani közepénél.

Bérczi Tamás (Szeged, Ságvári E. Gyak. Gimn., I. o. t.)