Ellenpéldával megmutatjuk, hogy a feladat állítása nem igaz. Legyen $a\ne 0$ tetszőleges racionális, $b$ pedig tetszőleges irracionális szám, például $a=1$, $b=\sqrt[]{2}$, és legyen $f$ tetszőleges nem állandó, $a$ periódusú függvény, például $f\left(x\right)=\text{sin}\frac{2\pi x}{a}$. Legyen végül a $g\left(x\right)$ függvény értéke $1$ mindazokon az $x$ helyeken, amelyekhez találhatók olyan $m$, $n$ egészek, melyekre $x=ma+nb$, és legyen $g\left(x\right)$ értéke $0$ a többi $x$-re. Mivel az $ma+nb$ alakú számok halmaza megszámlálható (éppen az $m$, $n$ számok segítségével), és a valós számok halmaza nem megszámlálható, van olyan $x$, amelyik nem állítható elő $ma+nb$ alakban, itt tehát $g\left(x\right)=0$, és mivel például $g\left(a\right)=1$, a $g\left(x\right)$ függvény nem állandó.
Megmutatjuk, hogy az így definiált $g$ függvény $a$ és $b$ periódussal is periodikus. Ha ugyanis $x$ előállítható $ma+nb$ alakban: $x=ma+nb$, akkor $x+a=\left(m+1\right)a+nb$ és $x+b=ma+\left(n+1\right)b$, tehát $g\left(x\right)=g\left(x+a\right)=g\left(x+b\right)=1$. Ha pedig $x$ nem állítható elő $ma+nb$ alakban, akkor sem $x+a$, sem $x+b$ nem állítható elő ilyen alakban, és így $g\left(x\right)=g\left(x+a\right)=g\left(x+b\right)=0$.
Tehát sem $f$, sem $g$ nem állandó, $f$ periodikus a periódussal, $g$ periodikus $b$ periódussal, és mivel $g$ az $a$ periódussal is periodikus, $f+g$ is periodikus, mégpedig $a$ periódussal.