|
Feladat: |
1570. matematika gyakorlat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: - |
Megoldó(k): |
Bodó Zalán , Bokor József , Cseke István , Győri Erzsébet , Honos Attila , Horváth József (Szhely) , Hunyady László , Kamondi Zoltán , Knébel István , Kruchió Gábor , Lendvay András , Márkus Zoltán , Nagy Lajos (Szhely) , Rábai Zoltán , Rapai Tibor , Ságody Lőrinc , Székely Zoltán , Verő Mária |
Füzet: |
1975/december,
215 - 216. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Kombinatorikai leszámolási problémák, Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1975/március: 1570. matematika gyakorlat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Ha az ábra körének mindegyikébe -t írunk, akkor teljesül a feltétel. Azt akarjuk megmutatni, hogy másképp nem is lehet kitölteni az ábrát: ha a beírt számokra a feltétel teljesül, úgy mindenhová -t kellett írnunk.
Vegyük észre, hogy az ábra "forgásszimmetrikus'', középpontja körül -kal elfordítva önmagába megy át. Így, ha sikerül megmutatnunk, hogy a külső vonal egy meghatározott (pl. a kis -essel jelölt) körébe -t kell írnunk, akkor ebből már következik, hogy a külső vonal minden körébe -t kell írnunk. És ha még azt is megmutatjuk, hogy a belső körök egyikébe (pl. a -es jelűbe) is -t kell írnunk, ezzel azt is igazoljuk, hogy az ábra minden köre csak -t tartalmazhat. Hiszen ha egy megoldásban volna olyan kör, amelyben nem van, azt elforgatással átvihetnénk vagy az -es vagy a -es jelű körbe, a beírt számokra pedig továbbra is áll a feltétel. Jelöljük az -vel jelölt körökben álló számok összegét -vel , és írjuk fel egymás után minden -re az összes -vel jelölt körökre a feltételek összegét. Így a következő egyenletet kapjuk: | | (Pl. a db -es jelű kör feltételeinek összegében tag szerepel, az -es kör száma -szor, a db -es -szer‐-szer és ugyanígy a db -as is, mert mindegyik -es az -essel és db -assal szomszédos, mindegyikük másik db -assal.) Az elsőből -t, a másodikból -t, , az ötödikből -t fejezzük ki segítségével: ; ; ; ; . Ezt a hatodikba helyettesítve kapjuk, hogy , vagyis az -es jelű körbe valóban -t kell írnunk. Az előrebocsátottak szerint ekkor a külső vonal mindegyik köre -t tartalmaz, tehát az -es körre a feltétel csak úgy állhat ‐ mivel a szóban forgó négy kör közül három a külső vonalon van ‐, ha a belső -es körben is áll. Ezzel állításunkat bebizonyítottuk. Megjegyzések. 1. A megoldók többsége a körbe írt számokat ismeretlennek fogta fel, a feltételeket pedig egyenletnek, majd megmutatta (több-kevesebb ügyeskedéssel), hogy az egyenletrendszer egyetlen megoldása az, amikor mindegyik ismeretlen . Volt, aki kiküszöböléssel, rengeteg számolás árán jutott el az eredményig. A hibás dolgozatok egy része hivatkozott az ún. Cramer-szabályra, amely az ilyen típusú egyenletrendszerek megoldására szolgál, de a feladat állításával ekvivalens állítást, hogy ti. a rendszer -as determinánsának értéke nem nulla, legfeljebb "megemlítették'', de egyikük sem bizonyította. A fenti megoldásból ez egyébként következik. 2. Az ábra tekinthető egy szabályos dodekaéder ( szabályos ötszöglappal határolt konvex test) élváza merőleges vetületének egy lap síkjára. (A körök a csúcsokat jelentik, a körök akkor vannak összekötve, ha a megfelelő csúcsok között él fut.) Ebben a felfogásban a testet úgy forgathatjuk különböző tengelyei (lap-, él- és csúcstengelyek) körül, hogy a test önmagával fedésbe jusson és tetszőleges csúcsa tetszőleges másik csúcsa helyére jusson; eszerint az ábra külső és belső körei is egyenrangúak. |
|