Feladat:	1577. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Füzet:	1975/november, 145 - 146. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Logaritmusos egyenlőtlenségek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1975/április: 1577. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{log}{}_{5}6+\text{log}{}_{6}7+\text{log}{}_{7}8+\text{log}{}_{8}5>4.}\end{array}$ (1) I. megoldás. Alkalmazva a $\left(\text{log}{}_{a}b\right)\cdot \left(\text{log}{}_{b}c\right)=\text{log}{}_{a}c$ azonosságot, valamint a számtani és a mértani közép közti egyenlőtlenséget, azonnal láthatjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{log}{}_{5}6+\text{log}{}_{6}7\ge 2\cdot \sqrt[]{\text{log}{}_{5}6\cdot \text{log}{}_{6}7}=2\cdot \sqrt[]{\text{log}{}_{5}7}\mathrm{,}}\end{array}$ illetve $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{log}{}_{7}8+\text{log}{}_{8}5\ge 2\cdot \sqrt[]{\text{log}{}_{7}8\cdot \text{log}{}_{8}5}=2\cdot \sqrt[]{\text{log}{}_{7}5}\mathrm{.}}\end{array}$ Ismét alkalmazva a számtani és mértani közép közti egyenlőtlenséget, kapjuk, hogy ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \left(\text{log}{}_{5}6+\text{log}{}_{6}7\right)+\left(\text{log}{}_{7}8+\text{log}{}_{8}5\right)\ge 2\cdot \sqrt[]{\text{log}{}_{5}7}+2\cdot \sqrt[]{\text{log}{}_{7}5}\ge }\hfill \\ \hfill {\displaystyle \ge 4\cdot \sqrt[]{\sqrt[]{\text{log}{}_{5}7}\cdot \sqrt[]{\text{log}{}_{7}5}}=4\cdot \sqrt[4]{\text{log}{}_{5}7\cdot \text{log}{}_{7}5}=4.}\hfill \end{array}}$ Ezzel éppen a bizonyítandó egyenlőtlenséget kaptuk meg ha még igazoljuk, hogy az utolsó egyenlőtlenség helyett szigorú egyenlőtlenséget írhatunk. Valóban $a>b>1$ esetén $\text{log}{}_{b}a>1>\text{log}{}_{a}b$, azaz $\begin{array}{c}{\displaystyle 2\sqrt[]{\text{log}{}_{5}7}>2>2\sqrt[]{\text{log}{}_{7}5}\mathrm{,}}\end{array}$ és két pozitív szám számtani és mértani közepe csak akkor egyenlő, ha a két szám egyenlő; egyébként mindig a számtani közép a nagyobb.   II. megoldás. Könnyen ellenőrizhető, hogy ha $a>b>1$, $x>1$, úgy $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{log}{}_{a}x<\text{log}{}_{b}x\mathrm{.}}\end{array}$ Ezt használjuk fel az $\left(1\right)$ egyenlőtlenség igazolására. $\left(1\right)$ tagjait átalakítva az $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{log}{}_{5}6=\text{log}{}_5\left(5\cdot \frac{6}{5}\right)=1+\text{log}{}_5\frac{6}{5}}\end{array}$ egyenlőség mintájára, azt kapjuk, hogy elegendő igazolnunk a következőt: $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{log}{}_5\frac{6}{5}+\text{log}{}_6\frac{7}{6}+\text{log}{}_7\frac{8}{7}+\text{log}{}_8\frac{5}{8}>0.}\end{array}$ (2) Az előrebocsátottak szerint, ha mindenütt $8$-as alapra térünk át, $\left(2\right)$ bal oldalánál határozottan kisebbet kapunk: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \text{log}{}_5\frac{6}{5}+\text{log}{}_6\frac{7}{6}+\text{log}{}_7\frac{8}{7}+\text{log}{}_8\frac{5}{8}>\text{log}{}_8\frac{6}{5}+\text{log}{}_8\frac{7}{6}+\text{log}{}_8\frac{8}{7}+\text{log}{}_8\frac{5}{8}=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle =\text{log}{}_8\frac{6}{5}\cdot \frac{7}{6}\cdot \frac{8}{7}\cdot \frac{5}{8}=\mathrm{0,}}\hfill \end{array}}$ amit igazolni akartunk.   Megjegyzés. Több megoldó a bizonyítandó egyenlőtlenséget úgy igazolta, hogy kiszámította a bal oldal értékét és azt $4$-nél valamivel nagyobbnak találta. Ilyen megoldást is teljes értékűnek fogadtunk el akkor, ha a dolgozat mind a függvénytáblázatbeli, mind a számításkor előforduló esetleges kerekítési hibákat figyelembe véve igazolta az egyenlőtlenséget.